Trovare il massimo comun divisore, o GCF, di due numeri è utile in molte situazioni in matematica, ma in particolare quando si tratta di semplificare le frazioni. Se stai lottando con questo o trovando denominatori comuni, imparare due metodi per trovare fattori comuni ti aiuterà a raggiungere ciò che ti stai proponendo di fare. Prima, però, è una buona idea conoscere le basi dei fattori; quindi, puoi esaminare due approcci per trovare fattori comuni. Infine, puoi vedere come applicare le tue conoscenze per semplificare una frazione.
Che cos'è un fattore?
I fattori sono i numeri che moltiplichi per produrre un altro numero. Ad esempio, 2 e 3 sono fattori di 6, perché 2 × 3 = 6. Allo stesso modo, 3 e 3 sono fattori di 9, perché 3 × 3 = 9. Come forse saprai, i numeri primi sono numeri che non hanno fattori diversi da se stessi e 1. Quindi 3 è un numero primo, perché gli unici due numeri interi (interi) che possono moltiplicarsi insieme per dare 3 come risposta sono 3 e 1. Allo stesso modo, 7 è un numero primo, e così è 13.
Per questo motivo, è spesso utile scomporre un numero in "fattori primi". Questo significa trovare tutti i fattori numerici primi di un altro numero. Fondamentalmente scompone il numero nei suoi "mattoni" fondamentali, il che è un utile passo verso trovare il massimo comun divisore di due numeri ed è anche inestimabile quando si tratta di semplificare il quadrato radici.
Trovare il più grande fattore comune: metodo uno
Il metodo più semplice per trovare il massimo comun divisore di due numeri è semplicemente elencare tutti i fattori di ciascun numero e cercare il numero più alto condiviso da entrambi. Immagina di voler trovare il fattore comune più alto di 45 e 60. Per prima cosa, guarda i diversi numeri che puoi moltiplicare insieme per produrre 45.
Il modo più semplice per iniziare è con i due che sai funzioneranno, anche per un numero primo. In questo caso, sappiamo 1 × 45 = 45, quindi sappiamo che 1 e 45 sono fattori di 45. Questi sono il primo e l'ultimo fattore di 45, quindi puoi semplicemente compilare da lì. Quindi, scopri se 2 è un fattore. Questo è facile, perché qualsiasi numero pari sarà divisibile per 2 e qualsiasi numero dispari no. Quindi sappiamo che 2 non è un fattore di 45. E 3? Dovresti essere in grado di individuare che 3 è un fattore di 45, perché 3 × 15 = 45 (puoi sempre costruire su ciò che sapere per risolverlo, ad esempio, saprai che 3 × 12 = 36 e l'aggiunta di tre a questo ti porta a 45).
Quindi, 4 è un fattore di 45? No, sai 11 × 4 = 44, quindi non può essere! Quindi, che ne dici di 5? Questo è un altro facile, perché qualsiasi numero che termina con 0 o 5 è divisibile per 5. E con questo, puoi facilmente individuare che 5 × 9 = 45. Ma 6 non va bene perché 7 × 6 = 42 e 8 × 6 = 48. Da questo puoi anche vedere che 7 e 8 non sono fattori di 45. Sappiamo già che il 9 lo è ed è facile vedere che 10 e 11 non sono fattori. Continua questo processo e noterai che 15 è un fattore, ma nient'altro lo è.
Quindi i fattori di 45 sono: 1, 3, 5, 9, 15 e 45.
Per 60, esegui esattamente lo stesso processo. Questa volta il numero è pari (quindi sai che 2 è un fattore) e divisibile per 10 (quindi 5 e 10 sono entrambi fattori), il che rende le cose un po' più semplici. Dopo aver ripetuto il processo, dovresti vedere che i fattori di 60 sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60.
Il confronto tra le due liste mostra che 15 è il massimo comun divisore di 45 e 60. Questo metodo può richiedere molto tempo, ma è semplice e funzionerà sempre. Puoi anche iniziare da qualsiasi fattore comune elevato che puoi individuare immediatamente, quindi cercare semplicemente i fattori più alti di ciascun numero.
Trovare il più grande fattore comune: metodo due
Il secondo metodo per trovare il GCF per due numeri consiste nell'utilizzare i fattori primi. Il processo di scomposizione in fattori primi è un po' più semplice e strutturato rispetto alla ricerca di ogni fattore. Esaminiamo il processo per 42 e 63.
Il processo di scomposizione in fattori primi implica fondamentalmente la scomposizione del numero finché non ti rimangono solo i numeri primi. È meglio iniziare con il numero primo più piccolo (due) e lavorare da lì. Quindi per 42 è facile vedere che 2 × 21 = 42. Quindi lavora da 21: 2 è un fattore? No. È 3? Sì! 3 × 7 = 21 e 3 e 7 sono entrambi numeri primi. Ciò significa che i fattori primi di 42 sono 2, 3 e 7. La prima "pausa" usava 2 per arrivare a 21, e la seconda la suddivideva in 3 e 7. Puoi verificarlo moltiplicando tutti i tuoi fattori insieme e controllando di ottenere il numero originale: 2 × 3 × 7 = 42.
Per 63, 2 non è un fattore, ma 3 lo è, perché 3 × 21 = 63. Di nuovo, 21 si scompone in 3 e 7 – entrambi primi – quindi conosci i fattori primi! Il controllo mostra che 3 × 3 × 7 = 63, come richiesto.
Trovi il fattore comune più alto osservando quali fattori primi hanno in comune i due numeri. In questo caso, 42 ha 2, 3 e 7 e 63 ha 3, 3 e 7. Hanno 3 e 7 in comune. Per trovare il fattore comune più alto, moltiplica tutti i fattori primi comuni insieme. In questo caso, 3 × 7 = 21, quindi 21 è il massimo comun divisore di 42 e 63.
Anche l'esempio precedente può essere risolto più rapidamente in questo modo. Poiché 45 è divisibile per tre (3 × 15 = 45) e 15 è anche divisibile per tre (3 × 5 = 15), i fattori primi di 45 sono 3, 3 e 5. Per 60, è divisibile per due (2 × 30 = 60), 30 è divisibile anche per due (2 × 15 = 30), e poi ti rimane 15, che sappiamo ha tre e cinque come fattori primi, lasciando 2, 2, 3 e 5. Confrontando le due liste, tre e cinque sono i fattori primi comuni, quindi il massimo comun divisore è 3 × 5 = 15.
Nel caso in cui ci siano tre o più fattori primi comuni, li moltiplichi tutti insieme nello stesso modo per trovare il massimo comun divisore.
Semplificare le frazioni con fattori comuni
Se ti viene presentata una frazione come 32/96, può rendere molto complicati i calcoli successivi a meno che tu non riesca a individuare un modo per semplificare la frazione. Trovare il fattore comune più basso di 32 e 96 ti dirà il numero per cui dividere entrambi, per ottenere una frazione più semplice. In questo caso:
32 = 2 × 16 \\ 16 = 2 × 2 × 2 × 2 \\ \text{Quindi } 32 = 2^5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Per 96, il processo dà:
96 = 48 × 2 \\ 48 = 24 × 2 \\ 24 = 12 × 2 \\ 12 = 6 × 2 \\ 6 = 3 × 2 \\ \text{Quindi } 96 = 2^5 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Dovrebbe essere chiaro che 25 = 32 è il più alto comun divisore. Dividendo entrambe le parti della frazione per 32 si ottiene:
\frac{32}{96} = \frac{1}{3}
Trovare denominatori comuni è un processo simile. Immagina di dover sommare le frazioni 15/45 e 40/60. Sappiamo dal primo esempio che 15 è il massimo comun divisore di 45 e 60, quindi possiamo esprimerli immediatamente come 5/15 e 10/15. Poiché 3 × 5 = 15, ed entrambi i numeratori sono anche divisibili per cinque, possiamo dividere entrambe le parti di entrambe le frazioni per cinque per ottenere 1/3 e 2/3. Ora sono molto più facili da aggiungere e vedere che
\frac{15}{45} + \frac{40}{60} = 1