Illunghezza dell'arcodi un cerchio è la distanza lungo l'esterno di quel cerchio tra due punti specificati. Se dovessi percorrere un quarto del percorso intorno a un cerchio grande e conoscessi la circonferenza del cerchio, la lunghezza dell'arco della sezione che hai percorso sarebbe semplicemente la circonferenza del cerchio, 2πr, diviso per quattro. La distanza in linea retta attraverso il cerchio tra quei punti, nel frattempo, è chiamata corda.
Se conosci la misura dell'angolo al centroθ, che è l'angolo tra le linee che hanno origine al centro del cerchio e si collegano alle estremità dell'arco, puoi facilmente calcolare la lunghezza dell'arco:
L = \frac{θ}{360} × 2πr
La lunghezza dell'arco senza angolo
A volte, però, non ti viene dataθ. Ma se conosci la lunghezza dell'accordo associatoc, puoi calcolare la lunghezza dell'arco anche senza questa informazione, usando la seguente formula:
c = 2r \sin \bigg(\frac{θ}{2}\bigg)
I passaggi seguenti presuppongono un cerchio con un raggio di 5 metri e una corda di 2 metri.
Risolvi l'equazione dell'accordo perθ
Dividi ogni lato per 2r(che è uguale al diametro del cerchio). Questo da
\frac{c}{2r} = \sin \bigg(\frac{θ}{2}\bigg)
In questo esempio
\frac{c}{2r} = \frac{2}{2×5} = 0.2
Trova il seno inverso di (θ/2)
Dato che ora hai
0.2 = \sin \bigg(\frac{θ}{2}\bigg)
devi trovare l'angolo che produce questo valore del seno.
Usa la funzione ARCSIN della tua calcolatrice, spesso etichettata SIN-1, per farlo, o fai riferimento anche al calcolatore di tabelle rapide (vedi Risorse).
\sin^{-1}(0.2) = 11.54=\frac{θ}{2} \\ \implies θ=23.08
Risolvi per la lunghezza dell'arco
Tornando all'equazione
L = \frac{θ}{360} × 2πr
inserire i valori noti:
L = \frac{23.08}{360} × 2π × 5\text{ metri} \\ \, \\= 0,0641 × 31,42 = 2.014 \text{ metri}
Si noti che per lunghezze d'arco relativamente corte, la lunghezza della corda sarà molto vicina alla lunghezza dell'arco, come suggerisce un'ispezione visiva.