Proprietà associative e commutative della moltiplicazione

Moltiplicazione e addizione sono funzioni matematiche correlate. Sommare lo stesso numero più volte produrrà lo stesso risultato della moltiplicazione del numero per il numero di volte in cui l'addizione è stata ripetuta, in modo che 2 + 2 + 2 = 2 × 3 = 6. Questa relazione è ulteriormente illustrata dalle somiglianze tra le proprietà associative e commutative della moltiplicazione e le proprietà associative e commutative dell'addizione. Queste proprietà si riferiscono al fatto che l'ordine dei numeri in un numero di addizione o moltiplicazione non cambia il risultato dell'equazione. È importante notare che queste proprietà si applicano solo all'addizione e alla moltiplicazione e non a sottrazione o divisione, dove cambiando l'ordine dei numeri nell'equazione cambierà il risultato.

Quando si moltiplicano due numeri, invertendo l'ordine dei numeri nell'equazione si ottiene lo stesso prodotto. Questa è nota come proprietà commutativa della moltiplicazione ed è abbastanza simile alla proprietà associativa dell'addizione. Ad esempio, moltiplicando tre per sei è uguale a sei per tre (3 × 6 = 6 × 3 = 18). Espressa in termini algebrici, la proprietà commutativa è:

o semplicemente

La proprietà associativa della moltiplicazione può essere vista come un'estensione della proprietà commutativa della moltiplicazione e parallela alla proprietà associativa dell'addizione. Quando si moltiplicano più di due numeri, cambiando l'ordine in cui i numeri vengono moltiplicati o il modo in cui sono raggruppati si ottiene lo stesso prodotto. Ad esempio, (3 × 4) × 2 = 12 × 2 = 24. Modificando l'ordine di moltiplicazione in 3 × (4 × 2) si ottiene 3 × 8 = 24. In termini algebrici, la proprietà associativa può essere descritta come:

Può essere utile ricordare le proprietà associative e commutative dell'addizione in riferimento alle proprietà associative e commutative della moltiplicazione. Secondo la proprietà commutativa dell'addizione, due numeri sommati danno la stessa somma sia che vengano sommati in avanti che all'indietro. In altre parole, due più sei fa otto e sei più due fa anche otto (2 + 6 = 6 + 2 = 8) e ricorda la proprietà commutativa della moltiplicazione. Di nuovo, questo può essere espresso algebricamente come

Nella proprietà associativa dell'addizione, l'ordine in cui vengono sommati più di tre o più insiemi di numeri non cambia la somma dei numeri. Quindi, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6. Proprio come nella proprietà associativa della moltiplicazione, cambiando l'ordine non cambia il risultato poiché 1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6. Algebricamente, la proprietà associativa dell'addizione è