Momento angolare: definizione, equazione, unità (con diagrammi ed esempi)

Considera la scena: tu e un amico, a causa di problemi al di fuori del tuo controllo, siete in cima a una lunga rampa in discesa. A ciascuno di voi è stata data una palla di esattamente 1 m di raggio. Ti è stato detto che il tuo è fatto di un materiale uniforme, simile alla schiuma e ha una massa di 5 kg. Anche la palla del tuo amico ha una massa di 5 kg, che verifichi con una comoda bilancia.

Il tuo amico vuole scommetterti che se rilasci le due palline contemporaneamente, la tua arriverà prima in fondo. Si è tentati di sostenere che, poiché le sfere hanno la stessa massa e lo stesso raggio (e quindi volume), saranno accelerate dalla gravità lungo la rampa alla stessa velocità durante la discesa. Ma qualcosa ferma il tuo "slancio" delle scommesse e tu non accetti la scommessa...

... saggiamente, a quanto pare. Anche se all'inizio non ha senso, la palla del tuo amico, a quanto pare gemella della tua, scende dalla rampa più lentamente della tua. Dopo che l'esperimento è finito, chiedi che le palle vengano smontate ed esaminate per segni di inganno. Invece, tutto ciò che trovi è che i 5 kg di massa nella palla del tuo amico erano confinati in un guscio sottile intorno all'esterno, con la cavità interna.

Che dire della configurazione sopra descritta inclina il valore di v a favore della tua palla? Come accade, proprio comeforzecambiare ilmomento linearedi oggetti convelocità lineare​, ​coppiecambiare ilmomento angolaredi oggetti convelocità angolare​.

Un oggetto rotolante rigido ha sia momento lineare che momento angolare, perché quando il suo centro di massa si muove con una velocità costante v (uguale alla velocità tangenziale della palla o della ruota), ogni altra porzione dell'oggetto ruota attorno a quel centro di massa con velocità angolare ω.

Il modo in cui la massa è distribuita all'interno di un oggetto non ha alcuna incidenza sul suo momento lineare, ma determina in modo squisito il suo momento angolare. Lo fa attraverso una quantità "simile alla massa" (per scopi rotazionali) chiamata momento di inerzia, valori più alti di il che implica sia più difficoltà nel far ruotare qualcosa che più difficoltà a fermarlo una volta che è già rotante.

Il momento angolare è una misura di quanto sia difficile modificare il movimento di rotazione di un oggetto. Dipende dal momento d'inerzia dell'oggetto e dalla sua velocità angolare. Il momento angolare è una quantità conservata, nel senso che la somma dei momenti angolari delle particelle in un sistema chiuso è sempre la stessa, anche se quella delle singole particelle può fluttuare.

Il momento angolare è, come notato, anche una funzione della distribuzione della massa attorno ad un asse. Per avere un'idea intuitiva di ciò, immagina di stare a 1 piede dal centro di un'enorme giostra che fa un giro ogni 10 secondi. Ora immagina di essere sullo stesso aggeggio con la stessa velocità angolare stando in piedi 1migliodal centro. Non ci vuole molta immaginazione per concepire la differenza di momento angolare in questi due scenari.

​Il momento angolare è il prodotto del momento d'inerzia per la sua velocità angolare, ovvero:
​

dovel= momento angolare in kg∙m²/s,io= momento d'inerzia in kg∙m², e ω = velocità angolare in radianti al secondo (rad/s).

• ​ioè detto anche momento secondo dell'area.

Si noti che la discussione si è ampliata da una massa puntiforme a un corpo solido, come un cilindro o una sfera, rotante attorno a un asse. Il centro di massa di un oggetto spesso non è al suo postogeometricocentro, quindi i valori diiodipende da come è distribuita la massa dell'oggetto. Spesso questo è simmetrico ma non uniforme, come un disco cavo con tutta la sua massa in una sottile striscia all'esterno (in altre parole, un anello).

Il vettore del momento angolare punta lungo l'asse di rotazione, perpendicolare al piano formato dar, lo "sweep" circolare di qualsiasi punto dell'oggetto attraverso lo spazio.

Un grafico di riferimento per il valore diioper diverse forme comuni si trova nelle Risorse. Usali per iniziare su alcuni problemi di base del momento angolare.

• Notare cheioper un guscio sferico è (2/3)mr² mentre quello di una sfera è (2/5)mr². Tornando alla scommessa nell'introduzione, ora puoi vedere che la palla del tuo amico ha (2/3)/(2/5) = 1,67 volte il momento d'inerzia del tuo, spiegando la tua vittoria nella "corsa".

1. Un disco con inerzia rotazionaleiodi 1,5 kg∙m²/s ruota attorno ad un asse con una velocità angolareωdi 8 rad/s. Qual è il suo momento angolarel​?

2. Una sottile asta lunga 15 m con una massa di 5 kg - diciamo la lancetta di un enorme orologio - ruota attorno a un punto fissato a un'estremità con una velocità angolareωdi 2π rad/60 s = (π/30) rad/s. Qual è il suo momento angolare?l​?

Questa volta, devi cercare il valore diio. Per un'asta sottile che si muove in questo modo,io= (1/3)mr²​.

Confronta questo con la risposta nel primo esempio. Questo ti sorprende? Perché o perché no?

"Conservazione" significa qualcosa di leggermente diverso in fisica rispetto a quanto non sia nel regno degli ecosistemi. Significa semplicemente che la quantità totale di quantità conservate (energia, quantità di moto, massa e inerzia sono le "quattro grandi" quantità conservate in fisica) in un sistema, compreso l'universo, rimane sempre il stesso. Se si tenta di "eliminare" l'energia, si manifesta semplicemente in un'altra forma e qualsiasi tentativo di "crearla" si basa su una fonte preesistente.

La legge di conservazione del momento angolare afferma che in un sistema chiuso il momento angolare totale non può cambiare. Poiché il momento angolare dipende dalla velocità angolare e dal momento d'inerzia, si può prevedere come una di queste quantità debba poi cambiare l'una rispetto all'altra in una data situazione.

• Formalmente, poiché la coppia può essere espressa comeτ= dl/dt (la velocità di variazione del momento angolare nel tempo), quando la somma delle coppie in un sistema è zero, allora dlAnche /dt deve essere zero e non vi è alcuna variazione del momento angolare nel sistema nell'intervallo di tempo in cui viene valutato il sistema. Viceversa, se L non è costante, ciò implica uno squilibrio delle coppie nel sistema (cioè,τ_nettoènonuguale a zero).

Questo è un concetto importante in molti esempi di meccanica della vita quotidiana. Un classico esempio è il pattinatore sul ghiaccio: quando salta in aria per eseguire un triplo axel, tira gli arti con forza. Ciò diminuisce il suo raggio complessivo attorno al suo asse di rotazione, modificando la sua distribuzione della massa in modo che il suo momento di inerzia diminuisca (ricorda,ioè proporzionale a mr²​).

Poiché il momento angolare si conserva, tuttavia, seiodiminuisce, la sua velocità angolare deve aumentare; ecco come gira abbastanza velocemente da completare diverse rotazioni a mezz'aria! Quando atterra, fa il contrario: allarga gli arti, modificando la sua distribuzione di massa per aumentare il suo momento d'inerzia, rallentando a sua volta la velocità di rotazione (velocità angolare).

Tutto sommato, il momento angolare del sistema è costante, ma le variabili che determinano l'entità del momento angolare possono essere manipolate, e con effetto strategico, come in questo caso.

A partire dal 1600, Isaac Newton iniziò a rivoluzionare efficacemente la fisica matematica. Avendo co-inventato il calcolo, era ben posizionato per fare asserzioni formali sulle presunte leggi universali che governano il moto degli oggetti, sia traslazionale (lineare e nello spazio) che rotatorio (ciclico e circa un asse).

• I varileggi di conservazioneche ricevono ampia menzione in seguito non sono figli dell'ingegno di Newton, ma esistono relazioni significative tra questi e le leggi del movimento.

​La prima legge di Newtonafferma che un oggetto fermo o in movimento con velocità costante rimarrà in questo stato a meno che una forza esterna non agisca sull'oggetto. Questo è anche chiamato illegge di inerzia.​

​Seconda legge di Newtonafferma che una forza nettaF_nettoagisce su una particella con massam, tenderà a cambiare la velocità di, o ad accelerare, quella massa. Questa famosa relazione è espressa matematicamente comeF_netto= mun​.

​Terza legge di Newtondice che per ogni forza che esiste in natura, esiste una forza uguale in grandezza ma che punta esattamente nella direzione opposta. Questa legge ha importanti implicazioni per le proprietà conservate del moto, incluso il momento angolare.

Ora è un momento eccellente per rivedere la natura, le regole e le relazioni travigore​, ​quantità di moto(massa per velocità) eenergia, che informano non solo le discussioni sul momento angolare, ma tutto il resto nella fisica classica.

Come notato, a meno che un oggetto non subisca una forza esterna (o, nel caso di un oggetto rotante, una coppia esterna), il suo movimento continua inalterato. Sulla Terra, tuttavia, la gravità è praticamente sempre nel miscuglio, così come lo sono i minori contributori di resistenza all'aria e vari tipi di attrito. forze, quindi nulla semplicemente continua a muoversi a meno che non gli venga data energia occasionalmente per sostituire ciò che viene "preso" da questi "movimenti" cronici ladri."

Per semplificare, una particella ha aenergia totaleconsiste inEnergia interna(ad esempio, la vibrazione delle sue molecole) eenergia meccanica. L'energia meccanica è la somma dienergia potenziale(PE; energia "immagazzinata", di solito tramite gravità) eenergia cinetica(KE; energia di movimento). Utilmente, PE + KE + IE= una costante per tutti i sistemi, che si tratti di una massa puntiforme (singola particella) o di una varietà di masse che interagiscono tra loro.

Quando senti termini relativi al movimento, come velocità, accelerazione, spostamento e quantità di moto, probabilmente presumi per impostazione predefinita che il contesto è movimento lineare. Il moto rotatorio, infatti, ha le sue quantità uniche ma analoghe.

Mentre lo spostamento lineare è misurato in metri (m) in unità SI, lo spostamento angolare è misurato in radianti (2π rad = 360 gradi). Di conseguenza,velocità angolareè misurato in rad/s ed è rappresentato daω, la lettera greca omega.

Tuttavia, quando una massa puntiforme si muove attorno al suo asse di rotazione, oltre alla velocità angolare, la particella traccia un percorso circolare a una data velocità, simile al movimento lineare. Questo tasso è ilvelocità tangenziale​ ​v_t​​,ed è uguale a rω,doverè il raggio, o distanza dall'asse di rotazione.

In relazione,accelerazione angolare​ ​α(Alfa greca) è il tasso di variazione della velocità angolarengularωed è misurato in rad/s². C'è anche unaccelerazione centripeta​ ​un_cdato dav_t²/r,che è diretto verso l'interno verso l'asse di rotazione.

• Mentre si discute del momento angolare, la controparte di mvin termini lineari, se ne parlerà a breve, sappiate che uno dei suoi componentiio, può essere pensato come un analogo rotazionale della massa.

Il momento angolare, come forza, spostamento, velocità e accelerazione, è aquantità vettoriale, poiché tali variabili includono sia agrandezza(cioè un numero) e adirezione, spesso dati i termini delle sue singole componenti x, y e z. Le quantità che contengono solo un elemento numerico, come massa, tempo, energia e lavoro, sono note comequantità scalari​.