La cinematica è una branca matematica della fisica che utilizza le equazioni per descrivere il movimento degli oggetti (in particolare la lorotraiettorie) senza fare riferimento alle forze.
Cioè, potresti semplicemente collegare vari numeri all'insieme di quattro equazioni cinematiche per trovare eventuali incognite in quelle equazioni senza bisogno di alcuna conoscenza della fisica dietro quel movimento, basandosi solo sulla tua algebra competenze.
Pensa alla "cinematica" come a una combinazione di "cinetica" e "matematica", in altre parole, la matematica del movimento.
La cinematica rotazionale è esattamente questo, ma si occupa specificamente di oggetti che si muovono in percorsi circolari piuttosto che orizzontalmente o verticalmente. Come gli oggetti nel mondo del moto traslatorio, questi oggetti rotanti possono essere descritti in termini di spostamento, velocità e accelerazione nel tempo, sebbene alcune delle variabili cambino necessariamente per adattarsi alle differenze di base tra lineare e angolare movimento.
In realtà è molto utile apprendere le basi del moto lineare e del moto rotatorio contemporaneamente, o almeno essere introdotti alle relative variabili ed equazioni. Questo non è per sopraffarti, ma ha invece lo scopo di sottolineare i paralleli.
Naturalmente, è importante ricordare quando si impara a conoscere questi "tipi" di movimento nello spazio che la traslazione e la rotazione sono tutt'altro che incompatibili. In effetti, la maggior parte degli oggetti in movimento nel mondo reale mostra una combinazione di entrambi i tipi di movimento, uno dei quali spesso non è evidente a prima vista.
Esempi di movimento lineare e proiettile
Poiché "velocità" in genere significa "velocità lineare" e "accelerazione" implica "accelerazione lineare" se non diversamente specificato, è opportuno rivedere alcuni semplici esempi di movimento di base.
Moto lineare significa letteralmente movimento confinato a una singola linea, spesso assegnata alla variabile "x". I problemi di moto dei proiettili coinvolgono sia x- che y-dimensioni, e la gravità è l'unica forza esterna (notare che questi problemi sono descritti come si verificano in un mondo tridimensionale, ad esempio, "Una palla di cannone viene licenziato…”).
Nota che massamnon entra in equazioni cinematiche di alcun tipo, perché l'effetto della gravità sul moto degli oggetti è indipendenti dalla loro massa, e quantità come quantità di moto, inerzia ed energia non fanno parte di alcuna equazione di movimento.
Una breve nota su radianti e gradi
Poiché il movimento rotatorio implica lo studio di percorsi circolari (in circolari non uniformi e uniformi) movimento) invece di usare metri per descrivere lo spostamento di un oggetto, usi radianti o gradi anziché.
Il radiante è, in superficie, un'unità scomoda, che si traduce in 57,3 gradi. Ma un giro intorno a un cerchio (360 gradi) è definito come 2π radianti e, per i motivi che stai per vedere, questo si rivela utile in alcuni casi per la risoluzione dei problemi.
- Il rapportorad = 180 gradipuò essere utilizzato per convertire facilmente tra entrambe le unità di misura.
Potrebbero esserci problemi che includono il numero di giri per unità di tempo (rpm o rps). Ricorda che ogni rivoluzione è di 2π radianti o 360 gradi.
Cinematica rotazionale vs. Misure cinematiche traslazionali
Le misurazioni cinematiche traslazionali, o unità, hanno tutte analoghi rotazionali. Ad esempio, invece della velocità lineare, che descrive, ad esempio, quanto rotola una palla in linea retta in un dato intervallo di tempo, larotazionaleovelocità angolaredescrive la velocità di rotazione di quella palla (quanto ruota in radianti o gradi al secondo).
La cosa principale da tenere a mente qui è che ogni unità traslazionale ha un analogo rotazionale. Imparare a mettere in relazione matematicamente e concettualmente i “soci” richiede un po' di pratica, ma per la maggior parte si tratta di semplice sostituzione.
Velocità linearevspecifica sia la grandezza che la direzione della traslazione di una particella; velocità angolareω(la lettera greca omega) rappresenta la sua velocità singolare, che è la velocità con cui l'oggetto ruota in radianti al secondo. Allo stesso modo, il tasso di variazione diω, l'accelerazione angolare, è data daα(alfa) in rad/s2.
I valori diωeαsono gli stessi per qualsiasi punto su un oggetto solido, indipendentemente dal fatto che siano misurati a 0,1 m dall'asse di rotazione o a 1.000 metri di distanza, perché è solo la velocità dell'angoloθcambiamenti che contano.
Ci sono, tuttavia, velocità e accelerazioni tangenziali (e quindi lineari) presenti nella maggior parte delle situazioni in cui si vedono quantità rotazionali. Le quantità tangenziali si calcolano moltiplicando le quantità angolari perr, la distanza dall'asse di rotazione:vt = reαt = αr.
Cinematica rotazionale vs. Equazioni cinematiche traslazionali
Ora che le analogie di misura tra moto rotatorio e lineare sono state squadrate con l'introduzione di nuovi termini angolari, questi possono essere usati per riscrivere il quattro equazioni cinematiche traslazionali classiche in termini di cinematica rotazionale, solo con variabili leggermente diverse (le lettere nelle equazioni che rappresentano incognite le quantità).
Ci sono quattro equazioni fondamentali e quattro variabili fondamentali in gioco nella cinematica: posizione (X, sìoθ), velocità (voω), accelerazione (unoα) E tempot. Quale equazione scegli dipende da quali quantità sono sconosciute per iniziare.
- [inserire una tabella di equazioni cinematiche lineari/traduzionali allineate con i loro analoghi rotazionali]
Ad esempio, supponiamo che ti venga detto che un braccio di una macchina ha attraversato uno spostamento angolare di 3/4 radianti con una velocità angolare inizialeω0di 0 rad/s e una velocità angolare finaleωdi π rad/s. Quanto tempo è durato questo movimento?
\theta = \theta_0 + \frac{1}{2}(\omega_0+\omega )t\implies \frac{3\pi}{4}=0+\frac{\pi}{2} t\implies t= 1.5\testo{ s}
Mentre ogni equazione traslazionale ha un analogo rotazionale, il contrario non è del tutto vero a causa dell'accelerazione centripeta, che è una conseguenza della velocità tangenzialevte punta verso l'asse di rotazione. Anche se non vi è alcun cambiamento nella velocità di una particella in orbita attorno a un centro di massa, ciò rappresenta l'accelerazione perché la direzione del vettore velocità cambia sempre.
Esempi di cinematica rotazionale Matematica
1. Un'asta sottile, classificata come un corpo rigido con una lunghezza di 3 m, ruota attorno ad un asse attorno a un'estremità. Accelera uniformemente da fermo a 3π rad/s2 per un periodo di 10 s.
a) Quali sono la velocità angolare media e l'accelerazione angolare durante questo tempo?
Come con la velocità lineare, basta dividere (ω0+ ω) di 2 per ottenere la velocità angolare media: (0 + 3π s-1)/2 = 1.5π S-1.
- I radianti sono un'unità adimensionale, quindi nelle equazioni cinematiche, la velocità angolare è espressa come s-1.
L'accelerazione media è data daω=ω0+ αt, oα= (3π s-1/10 s) =0,3π s-2.
b) Quanti giri completi fa la canna?
Poiché la velocità media è 1.5π s-1 e l'asta gira per 10 secondi, si muove per un totale di 15π radianti. Poiché un giro è 2π radianti, questo significa (15π/2π) = 7,5 giri (sette rivoluzioni complete) in questo problema.
c) Qual è la velocità tangenziale dell'estremità dell'asta al tempo t = 10 s?
Davt = r, eωal tempo t = 10 è 3π s-1, vt= (3π s-1)(3 m) =9π m/s.
Il momento di inerzia
ioè definito come il momento d'inerzia (detto anchealsosecondo momento dell'area) in moto rotatorio, ed è analogo alla massa per scopi computazionali. Appare così dove apparirebbe la massa nel mondo del movimento lineare, forse la cosa più importante nel calcolo del momento angolarel. Questo è il prodotto diioeω,ed è un vettore con direzione uguale aω.
io = mr2 per una particella puntiforme, ma per il resto dipende dalla forma dell'oggetto che fa la rotazione e dall'asse di rotazione. Vedere le risorse per un pratico elenco di valori diioper forme comuni.
La massa è diversa perché la quantità nella cinematica rotazionale a cui si riferisce, momento d'inerzia, in realtà stessa itselfcontienemassa come componente.