I cerchi sono tra le forme più fondamentali sia nel mondo naturale che nell'ingegneria umana. Le stelle, che sono sfere (o oggetti che si avvicinano a sfere, per essere pignoli), hanno la capacità di dare vita a pianeti come la Terra. La proiezione, o ombra geometrica, di una sfera è un cerchio, ed entrambe queste forme hanno innumerevoli implicazioni in astronomia, matematica, architettura e altrove.
Il cerchio dell'unità
Un cerchio può essere diviso in 360 gradi o 360 °. Cioè, un "viaggio" intorno al cerchio sottende un angolo di 360°; in alternativa, 1/360esimo del cerchio viene "catturato" di un singolo grado angolare.
Ogni grado, come ogni ora su un orologio, può essere diviso per 60 per ottenere minuti (in questo caso, minuti d'arco) e poi di nuovo per 60 per ottenere secondi. Quindi il numero di secondi d'arco in un cerchio è considerevole:
\frac{60 \;\text {arcsec}}{\;\text {arcmin}}×\frac{60 \;\text{arcmin}}{1 \;\text{grado}}×\frac{360 \ ;\text{gradi}}{\;\text{cerchio}} = 1.296.000 \;\text{arcsec/cerchio}
Radianti vs. Gradi
Un altro modo per misurare gli angoli è inradianti. Questa unità di misura tiene conto del fatto che i cerchi e π sono irrimediabilmente intrecciati. Poiché 2π volte il raggio è uguale alla circonferenza, gli angoli del cerchio possono essere misurati in radianti, con 2π di questi che costituiscono un giro completo.
Poiché anche un giro completo è 360°, ci sono 2π radianti per 360°, che corrisponde a
\frac{360}{2\times 3.14159}=57,3\text{ gradi per radianti}
O allo stesso modo, 0,017453 radianti per grado. Per convertire da radianti a secondi d'arco, moltiplicare per 206.265 secondi d'arco per radianti.
Sia che tu scelga di lavorare in gradi, radianti o secondi d'arco dipende interamente dai parametri e dalla scala del problema che ti viene dato di risolvere.
Gradi, Minuti e Secondi d'Arco
Se stai guardando un diagramma di un cerchio su un tipico schermo di un telefono o anche su un computer portatile, sarebbe difficile immaginare di visualizzare una scheggia di quello sarebbe come se fosse diviso in 360 pezzi, molto meno 21.600 pezzi (il totale dei minuti individuali) o ben più di un milione di pezzi (tutti i secondi).
Ma se ti trovi, diciamo, sulla Terra, che è di circa 25.000 miglia intorno, la storia cambia. Ora, 25.000 miglia/1.296.000 secondi d'arco = 0,0193 miglia per secondo d'arco. Moltiplicandolo per 60 si ottengono 1,16 miglia per minuto d'arco e moltiplicando nuovamente per 60 si ottengono circa 69,4 miglia per grado. In effetti, questo è molto vicino al numero di miglia in un minuto di latitudine sul sistema di coordinate della griglia terrestre.
Poiché le linee di longitudine convergono (si avvicinano) tra l'equatore e il loro incontro ai poli, queste linee non sono a distanza fissa, a differenza delle linee di latitudine (chiamate anche "parallele" per questo motivo).
Il secondo d'arco: applicazioni terrene e celesti
Quando guardi il sole o la luna, potresti pensare che occupino un bel pezzo di cielo, forse un paio di gradi d'arco. Invece, ognuno è un disco che occupa circa 1/2° (1.800 arcsec) del cielo. Questa cifra sembra sorprendentemente bassa a molte persone, forse perché questi sono gli oggetti più grandi nel cielo nonostante le loro proporzioni oggettivamente modeste. È controintuitivo immaginare 360 soli o lune che combaciano ordinatamente per occupare i 180° di cielo tra gli orizzonti, ma sarebbe possibile.
Questa e la sezione precedente illustrano l'utilità del secondo d'arco o secondo d'arco: Frammenti molto piccoli di cerchi può avere proporzioni considerevoli se la dimensione del cerchio nel suo insieme è sufficiente grande!