Come trovare dy/dx mediante differenziazione implicita data un'equazione simile a y=sin (xy)

La differenziazione implicita è una tecnica utilizzata per determinare la derivata di una funzione nella forma y = f (x).

Per imparare a usare la differenziazione implicita, possiamo usare il metodo su un semplice esempio e poi esplorare alcuni casi più complessi.

Anche se sembra più complicato, la differenziazione implicita utilizza la stessa matematica e le stesse abilità della differenziazione di base. La cosa importante da notare, tuttavia, è che la nostra variabile dipendente ora compare nella funzione stessa.

Prendi una semplice equazione come xy = 1. Ci sono due modi per trovare la derivata di sì riguardo a X, o dy/dx. Innanzitutto, possiamo semplicemente risolvere per solve sì nell'equazione e utilizzare la regola della potenza per le derivate. In questo modo si otterrebbe: y = 1/x. L'applicazione della regola della potenza rivelerebbe quindi che dy/dx = -1/x².

Possiamo anche fare questo problema usando la differenziazione implicita. Fortunatamente, conosciamo già la risposta (dovrebbe essere la stessa indipendentemente da come la calcoliamo), quindi possiamo controllare il nostro lavoro!

Per iniziare, applica la derivata a entrambi i membri dell'equazione xy = 1. Allora, d/dx (xy) = d/dx (1); chiaramente il lato destro è ora uguale a 0, ma il lato sinistro richiede la regola della catena. Questo perché stiamo prendendo la derivata della nostra funzione, sì, mentre viene moltiplicato per un altro fattore di X. Per calcolarlo: d/dx (x) y + x (d/dx (y)) = y + xy'. Useremo la notazione primo per indicare una derivata rispetto a X.

Riscrivendo la nostra equazione si ottiene: y + xy' = 0. È tempo di risolvere y' nella nostra equazione! Chiaramente, y' = -y/x. Ma usando le informazioni originali, sappiamo che y= 1/x, quindi possiamo sostituirlo di nuovo. Una volta fatto ciò, vediamo che y' = -1/x², proprio come abbiamo trovato prima.

Per determinare la derivata di y = sin (xy), utilizzeremo la derivazione implicita ricordando che (d/dx) y = y'.

Innanzitutto, applica la derivata a entrambi i membri dell'equazione: d/dx (y) = d/dx (sin (xy)). Il lato sinistro dell'equazione è chiaramente y', che è ciò che dovremo risolvere, ma il lato destro richiederà un po' di lavoro; in particolare, la regola della catena e la regola del prodotto. Innanzitutto, la regola della catena deve essere applicata a sin (xy), quindi la regola del prodotto per l'argomento xy. Fortunatamente abbiamo già calcolato questa regola del prodotto.

Quindi, semplificando questo si ottiene: y' = cos (xy)(y + xy').

Chiaramente, questa equazione deve essere risolta per y' per determinare come y' è relazionato a X e sì.

Isola tutti i termini con y' da un lato: y' - xy'cos (xy) = ycos (xy).

Quindi scomponi il y' per ottenere: y'(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

Ora vediamo che y' = ycos (xy)/(1-xcos (xy)).

Potrebbe essere necessaria un'ulteriore semplificazione, ma poiché la nostra funzione è definita ricorsivamente, collegare y = sin (xy) probabilmente non produrrà una soluzione soddisfacente. In questo caso, possono essere utili maggiori informazioni o un metodo più sofisticato per tracciare queste equazioni.

Innanzitutto, ricorda che la differenziazione implicita si basa sul fatto che una delle variabili sia una funzione dell'altra. Comunemente, vediamo le funzioni come y = f (x), ma si potrebbe scrivere una funzione x = f (y). Prestare attenzione quando si affrontano questi problemi per determinare quale variabile dipende dall'altra.

Successivamente, ricorda di applicare con attenzione le regole derivate. La differenziazione implicita richiederà molto spesso la regola della catena, nonché la regola del prodotto e la regola del quoziente. L'applicazione corretta di questi metodi sarà essenziale per determinare la risposta finale.

Infine, risolvi la derivata desiderata isolandola e semplificando il più possibile le espressioni.