Leggi del moto del pendolo

I pendoli hanno proprietà interessanti che i fisici usano per descrivere altri oggetti. Ad esempio, l'orbita planetaria segue uno schema simile e oscillare su un'altalena può sembrare di essere su un pendolo. Queste proprietà derivano da una serie di leggi che regolano il movimento del pendolo. Imparando queste leggi, puoi iniziare a comprendere alcuni dei principi fondamentali della fisica e del movimento in generale.

Il moto di un pendolo può essere descritto usando

in qualeθrappresenta l'angolo tra la corda e la linea verticale al centro,trappresenta il tempo, eTè il periodo, il tempo necessario perché si verifichi un ciclo completo del moto del pendolo (misurato da1/f), della mozione per un pendolo.

​Moto armonico semplice, o movimento che descrive come la velocità di un oggetto oscilla in modo proporzionale alla quantità di spostamento dall'equilibrio, può essere usato per descrivere l'equazione di un pendolo. L'oscillazione del pendolo è tenuta in movimento da questa forza che agisce su di esso mentre si muove avanti e indietro.

•••Syed Hussain Ather

Le leggi che regolano il movimento del pendolo hanno portato alla scoperta di un'importante proprietà. I fisici suddividono le forze in una componente verticale e una orizzontale. Nel moto pendolare,tre forze agiscono direttamente sul pendolo: la massa del peso, la gravità e la tensione nella corda. Sia la massa che la gravità lavorano verticalmente verso il basso. Poiché il pendolo non si sposta né in alto né in basso, la componente verticale della tensione della corda annulla la massa e la gravità.

Questo mostra che la massa di un pendolo non ha alcuna rilevanza per il suo moto, ma la tensione della corda orizzontale sì. Il moto armonico semplice è simile al moto circolare. Puoi descrivere un oggetto che si muove in un percorso circolare come mostrato nella figura sopra, determinando l'angolo e il raggio che assume nel suo percorso circolare corrispondente. Quindi, usando la trigonometria del triangolo rettangolo tra il centro del cerchio, la posizione dell'oggetto e lo spostamento in entrambe le direzioni x e y, puoi trovare le equazionix = rsin (θ)ey = rcos (θ).​

L'equazione unidimensionale di un oggetto in moto armonico semplice è data dax = r cos (ωt).Puoi sostituire ulteriormenteUNperrin qualeUNè ilampiezza, lo spostamento massimo dalla posizione iniziale dell'oggetto.

La velocità angolareωrispetto al tempotper questi angoliθè dato da= ωt. Se sostituisci l'equazione che mette in relazione la velocità angolare con la frequenzaf​, ​ω = 2​​f, puoi immaginare questo moto circolare, quindi, come parte di un pendolo che oscilla avanti e indietro, quindi l'equazione del moto armonico semplice risultante è

•••Syed Hussain Ather

I pendoli, come le masse su una molla, sono esempi dioscillatori armonici semplici: C'è una forza di richiamo che aumenta a seconda di quanto è spostato il pendolo e il loro movimento può essere descritto usando ilequazione dell'oscillatore armonico semplice​

in qualeθrappresenta l'angolo tra la corda e la linea verticale al centro,trappresenta il tempo eTè ilperiodo, il tempo necessario perché avvenga un ciclo completo del moto del pendolo (misurato da1/f), della mozione per un pendolo.

​θ_maxè un altro modo per definire il massimo che l'angolo oscilla durante il movimento del pendolo ed è un altro modo per definire l'ampiezza del pendolo. Questo passaggio è spiegato di seguito nella sezione "Definizione del pendolo semplice".

Un'altra implicazione delle leggi di un pendolo semplice è che il periodo di oscillazione con lunghezza costante è indipendente dalle dimensioni, dalla forma, dalla massa e dal materiale dell'oggetto all'estremità della corda. Ciò è mostrato chiaramente attraverso la semplice derivazione del pendolo e le equazioni che ne risultano.

È possibile determinare l'equazione per apendolo semplice, la definizione che dipende da un semplice oscillatore armonico, da una serie di passaggi che iniziano con l'equazione del moto per un pendolo. Poiché la forza di gravità di un pendolo è uguale alla forza del movimento del pendolo, puoi impostarli uguali tra loro usando la seconda legge di Newton con una massa del pendoloM, lunghezza della stringal, angoloθ,Accellerazione Gravitazionalege intervallo di tempot​.

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Poni la seconda legge di Newton uguale al momento d'inerziaio = mr²per un po' di massame raggio del moto circolare (lunghezza della corda in questo caso)rvolte l'accelerazione angolareα​.

1. ​ΣF = Ma: La seconda legge di Newton afferma che la forza nettaFsu un oggetto è uguale alla massa dell'oggetto moltiplicata per l'accelerazione.
2. ​Ma = io α: Consente di impostare la forza dell'accelerazione gravitazionale (-Mg peccato (θ)L)uguale alla forza di rotazione
   
3. ​-Mg sin (θ)L = io α​: È possibile ottenere la direzione della forza verticale dovuta alla gravità (-Mg) calcolando l'accelerazione comepeccato (θ)LSesin (θ) = d/Lper qualche spostamento orizzontalede angoloθ​ dar conto della direzione.
   
4. ​-Mg sin (θ)L = ML² α: Sostituisci l'equazione del momento d'inerzia di un corpo rotante usando la lunghezza della stringa L come raggio.
   
5. ​-Mg sin (θ)L = -ML²​​d²/dt: Calcolare l'accelerazione angolare sostituendo la derivata seconda dell'angolo rispetto al tempo perα.Questo passaggio richiede il calcolo e le equazioni differenziali.
   
6. ​d²/dt² + (g/L)senoθ = 0: Puoi ottenerlo riorganizzando entrambi i lati dell'equazione
   
7. ​d²/dt² + (g/L)θ = 0: Puoi approssimarepeccato (θ)comeθai fini di un pendolo semplice con angoli di oscillazione molto piccoli
   
8. ​θ(t) = θ_maxcos (t (l/g)²): L'equazione del moto ha questa soluzione. Puoi verificarlo prendendo la seconda derivata di questa equazione e lavorando per ottenere il passaggio 7.

Ci sono altri modi per fare una semplice derivazione del pendolo. Comprendi il significato di ogni passaggio per vedere come sono correlati. Puoi descrivere un semplice movimento del pendolo usando queste teorie, ma dovresti anche prendere in considerazione altri fattori che possono influenzare la semplice teoria del pendolo.

Se confronti il ​​risultato di questa derivazione

all'equazione di un semplice oscillatore armonicoby ponendoli uguali tra loro si ricava un'equazione per il periodo T:

Nota che questa equazione non dipende dalla massaMdel pendolo, l'ampiezzaθ_max, né sul tempot. Ciò significa che il periodo è indipendente dalla massa, dall'ampiezza e dal tempo, ma, invece, dipende dalla lunghezza della corda. Ti dà un modo conciso di esprimere il movimento del pendolo.

Con l'equazione per un periodo, puoi riorganizzare l'equazione per ottenere

e sostituisci 1 sec perTe9,8 m/s²pergottenereL =0,0025 metri Tieni presente che queste equazioni della semplice teoria del pendolo presuppongono che la lunghezza della corda sia priva di attrito e senza massa. Tenere conto di questi fattori richiederebbe equazioni più complicate.

Puoi tirare indietro l'angolo del pendoloθlasciarlo oscillare avanti e indietro per vederlo oscillare proprio come farebbe una molla. Per un semplice pendolo puoi descriverlo usando le equazioni del moto di un semplice oscillatore armonico. L'equazione del moto funziona bene per valori più piccoli di angolo eampiezza, l'angolo massimo, perché il modello a pendolo semplice si basa sull'approssimazione chepeccato (θ)​ ≈ ​θper qualche angolo del pendoloθ.Poiché i valori angoli e ampiezze diventano maggiori di circa 20 gradi, questa approssimazione non funziona altrettanto bene.

Provalo tu stesso. Un pendolo oscillante con un ampio angolo inizialeθnon oscillerà regolarmente per consentirti di utilizzare un semplice oscillatore armonico per descriverlo. Con un angolo iniziale più piccoloθ, il pendolo si avvicina molto più facilmente a un movimento oscillatorio regolare. Poiché la massa di un pendolo non influisce sul suo movimento, i fisici hanno dimostrato che tutti i pendoli hanno lo stesso periodo di oscillazione angoli - l'angolo tra il centro del pendolo nel suo punto più alto e il centro del pendolo nella sua posizione di arresto - meno di 20 gradi.

Per tutti gli scopi pratici di un pendolo in movimento, il pendolo alla fine decelererà e si fermerà a causa della attrito tra la corda e il suo punto fissato sopra, nonché a causa della resistenza dell'aria tra il pendolo e l'aria intorno ad esso.

Per esempi pratici di movimento a pendolo, il periodo e la velocità dipenderebbero dal tipo di materiale utilizzato che causerebbe questi esempi di attrito e resistenza dell'aria. Se si eseguono calcoli sul comportamento oscillatorio del pendolo teorico senza tenere conto di queste forze, si terrà conto di un pendolo che oscilla all'infinito.

La prima legge di Newton definisce la velocità degli oggetti in risposta alle forze. La legge afferma che se un oggetto si muove ad una determinata velocità e in linea retta, continuerà a muoversi a quella velocità e in linea retta, all'infinito, finché nessun'altra forza agisce su di esso. Immagina di lanciare una palla direttamente in avanti: la palla girerebbe intorno alla terra ancora e ancora se la resistenza dell'aria e la gravità non agissero su di essa. Questa legge mostra che poiché un pendolo si muove da un lato all'altro e non su e giù, non ha forze su e giù che agiscono su di esso.

La seconda legge di Newton viene utilizzata per determinare la forza netta sul pendolo impostando la forza gravitazionale uguale alla forza della corda che si tira indietro sul pendolo. L'impostazione di queste equazioni uguali tra loro consente di derivare le equazioni del moto per il pendolo.

La terza legge di Newton afferma che ogni azione ha una reazione di uguale forza. Questa legge funziona con la prima legge che mostra che sebbene la massa e la gravità annullino la componente verticale del vettore di tensione della corda, nulla annulla la componente orizzontale. Questa legge mostra che le forze che agiscono su un pendolo possono annullarsi a vicenda.

I fisici usano la prima, la seconda e la terza legge di Newton per dimostrare che la tensione orizzontale della corda muove il pendolo indipendentemente dalla massa o dalla gravità. Le leggi di un pendolo semplice seguono le idee delle tre leggi del moto di Newton.