Setelah Anda mulai memecahkan persamaan aljabar yang melibatkan polinomial, kemampuan untuk mengenali bentuk polinomial khusus yang mudah difaktorkan menjadi sangat berguna. Salah satu polinomial "faktor mudah" yang paling berguna untuk dikenali adalah kuadrat sempurna, atau trinomial yang dihasilkan dari mengkuadratkan binomial. Setelah Anda mengidentifikasi kuadrat sempurna, memfaktorkannya ke dalam komponen individualnya sering kali merupakan bagian penting dari proses pemecahan masalah.
Sebelum Anda dapat memfaktorkan trinomial kuadrat sempurna, Anda harus belajar mengenalinya. Persegi sempurna dapat mengambil salah satu dari dua bentuk
a^2 + 2ab + b^2 \text{, yang merupakan hasil kali dari } (a + b)(a + b) = (a + b)^2 \\ a^2 - 2ab + b^2 \text {, yang merupakan produk dari } (a - b)(a - b) = (a - b)^2
Periksa suku pertama dan ketiga dari trinomial. Apakah keduanya persegi? Jika ya, cari tahu apa itu kuadrat. Misalnya, dalam contoh "dunia nyata" kedua yang diberikan di atas:
y^2 - 2y + 1
istilahkamu2 jelas merupakan kuadrat dariy.Istilah 1, mungkin kurang jelas, kuadrat dari 1, karena 12 = 1.
Kalikan akar suku pertama dan ketiga. Untuk melanjutkan contoh, itukamudan 1, yang memberi Andakamu × 1 = 1kamuatau hanyakamu.
Selanjutnya, kalikan produk Anda dengan 2. Melanjutkan contoh, Anda memiliki 2y.
Terakhir, bandingkan hasil langkah terakhir dengan suku tengah polinomial. Apakah mereka cocok? Dalam polinomialkamu2 – 2kamu+ 1, mereka melakukannya. (Tanda itu tidak relevan; itu juga akan cocok jika istilah tengahnya +2kamu.)
Karena jawaban pada Langkah 1 adalah "ya" dan hasil Anda dari Langkah 2 cocok dengan suku tengah polinomial, Anda tahu bahwa Anda sedang melihat trinomial kuadrat sempurna.
Setelah Anda mengetahui bahwa Anda sedang melihat trinomial kuadrat sempurna, proses pemfaktorannya cukup mudah.
Identifikasi akar, atau bilangan yang dikuadratkan, pada suku pertama dan ketiga dari trinomial. Pertimbangkan contoh trinomial lain yang sudah Anda ketahui adalah kuadrat sempurna:
x^2 + 8x + 16
Jelaslah bilangan yang dikuadratkan pada suku pertama adalahx. Bilangan yang dikuadratkan pada suku ketiga adalah 4, karena 42 = 16.
Pikirkan kembali rumus untuk trinomial kuadrat sempurna. Anda tahu faktor-faktor Anda akan berbentuk (Sebuah + b)(Sebuah + b) atau bentuk (Sebuah – b)(Sebuah – b), dimanaSebuahdanbadalah bilangan yang dikuadratkan pada suku pertama dan suku ketiga. Jadi, Anda dapat menuliskan faktor-faktor Anda demikian, menghilangkan tanda-tanda di tengah setiap istilah untuk saat ini:
(sebuah \,? \,b)(a \,? \,b) = a^2 \,?\, 2ab + b^2
Untuk melanjutkan contoh dengan mengganti akar dari trinomial Anda saat ini, Anda memiliki:
(x \,?\, 4)(x \, ?\, 4) = x^2 + 8x + 16
Periksa suku tengah trinomial. Apakah itu memiliki tanda positif atau tanda negatif (atau, dengan kata lain, apakah itu ditambahkan atau dikurangi)? Jika memiliki tanda positif (atau sedang ditambahkan), maka kedua faktor dari trinomial memiliki tanda plus di tengah. Jika memiliki tanda negatif (atau sedang dikurangi), kedua faktor memiliki tanda negatif di tengah.
Suku tengah dari contoh trinomial saat ini adalah 8x– positif – jadi sekarang Anda telah memfaktorkan trinomial kuadrat sempurna:
(x + 4)(x + 4) = x^2 + 8x + 16
Periksa pekerjaan Anda dengan mengalikan kedua faktor tersebut. Menerapkan FOIL atau metode pertama, luar, dalam, terakhir memberi Anda:
x^2 + 4x + 4x + 16
Menyederhanakan ini memberikan hasilx2 + 8x+ 16, yang cocok dengan trinomial Anda. Jadi faktornya benar.