Energi kinetik rotasimenggambarkan energi gerak yang dihasilkan dari rotasi benda atau gerak melingkar. Ingat ituenergi kinetik linierdari suatu massasayabergerak dengan kecepatanvdiberikan oleh 1/2mv2. Ini adalah perhitungan langsung untuk objek apa pun yang bergerak di jalur garis lurus. Ini berlaku untuk pusat massa objek, memungkinkan objek didekati sebagai massa titik.
Sekarang, jika kita ingin menggambarkan energi kinetik dari sebuah objek yang diperpanjang yang mengalami gerakan yang lebih kompleks, perhitungannya menjadi lebih rumit.
Kita dapat membuat aproksimasi berturut-turut dengan memecah objek yang diperluas menjadi potongan-potongan kecil, yang masing-masing dapat didekati sebagai massa titik, dan kemudian hitung energi kinetik linier untuk setiap massa titik secara terpisah, dan jumlahkan semuanya untuk menemukan total obyek. Semakin kecil kita memecah objek, semakin baik pendekatannya. Dalam batas di mana potongan menjadi sangat kecil, ini dapat dilakukan dengan kalkulus.
Tapi kami beruntung! Ketika datang ke gerakan rotasi, ada penyederhanaan. Untuk benda yang berputar, jika kita menggambarkan distribusi massanya terhadap sumbu rotasi dalam hal momen inersianya,saya, kita kemudian dapat menggunakan persamaan energi kinetik rotasi sederhana, yang akan dibahas nanti dalam artikel ini.
Momen inersia
Momen inersiaadalah ukuran seberapa sulitnya menyebabkan suatu benda mengubah gerak rotasinya terhadap sumbu tertentu. Momen inersia untuk benda yang berputar tidak hanya bergantung pada massa benda, tetapi juga bagaimana massa itu didistribusikan terhadap sumbu rotasi. Semakin jauh dari sumbu yang massa didistribusikan, semakin sulit untuk mengubah gerakan rotasi, dan karenanya semakin besar momen inersia.
Satuan SI untuk momen inersia adalah kgm2 (yang konsisten dengan gagasan kami bahwa itu tergantung pada massa dan jarak dari sumbu rotasi). Momen inersia untuk objek yang berbeda dapat ditemukan dalam tabel atau dari kalkulus.
Tips
Momen inersia suatu benda dapat dicari dengan menggunakan kalkulus dan rumus momen inersia suatu massa titik.
Persamaan Energi Kinetik Rotasi
Rumus untuk energi kinetik rotasi diberikan oleh:
KE_{busuk} = \frac{1}{2}Saya\omega^2
Dimanasayaadalah momen inersia benda danωadalah kecepatan sudut benda dalam radian per sekon (rad/s). Satuan SI untuk energi kinetik rotasi adalah joule (J).
Bentuk rumus energi kinetik rotasi analog dengan persamaan energi kinetik translasi; momen inersia memainkan peran massa, dan kecepatan sudut menggantikan kecepatan linier. Perhatikan bahwa persamaan energi kinetik rotasi memberikan hasil yang sama untuk massa titik seperti halnya persamaan linier.
Jika kita membayangkan massa titiksayabergerak dalam lingkaran radiusrdengan kecepatanv, maka kecepatan sudutnya adalah = v/r dan momen inersianya adalah mr2. Kedua persamaan energi kinetik memberikan hasil yang sama, seperti yang diharapkan:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(mr^2)(v/r)^2=\frac{1}{2}\frac {m\batal{r^2}v^2}{\batal{r^2}} = \frac{1}{2}mv^2 = KE_{lin}
Jika sebuah benda berotasi dan pusat massanya bergerak sepanjang lintasan garis lurus (seperti yang terjadi pada ban yang menggelinding, misalnya), makaenergi kinetik totaladalah jumlah energi kinetik rotasi dan energi kinetik translasi:
KE_{tot} = KE_{rot}+KE_{lin} = \frac{1}{2}I\omega^2+\frac{1}{2}mv^2
Contoh Menggunakan Rumus Energi Kinetik Rotasi
Rumus energi kinetik rotasi memiliki banyak aplikasi. Ini dapat digunakan untuk menghitung energi kinetik sederhana dari benda yang berputar, untuk menghitung energi kinetik dari benda yang menggelinding (benda yang mengalami gerak rotasi dan gerak translasi) dan untuk memecahkan masalah lainnya tidak diketahui. Perhatikan tiga contoh berikut:
Contoh 1:Bumi berputar pada porosnya kira-kira sekali setiap 24 jam. Jika kita menganggapnya memiliki kerapatan yang seragam, berapakah energi kinetik rotasinya? (Jari-jari bumi adalah 6,37 × 106 m, dan massanya adalah 5,97 × 1024 kg.)
Untuk menemukan energi kinetik rotasi, pertama-tama kita harus menemukan momen inersia. Dengan mendekati Bumi sebagai bola padat, kita mendapatkan:
I = \frac{2}{5}mr^2 = \frac{2}{5}(5.97\times10^{24}\text{ kg})(6.37\times10^6\text{ m})^2 = 9,69\times10^{37}\text{ kgm}^2
Kecepatan sudutnya adalah 2π radian/hari. Mengubah ini menjadi rad/s memberikan:
2\pi\frac{\text{radian}}{\cancel{\text{hari}}}\frac{1\cancel{\text{ hari}}}{86400\text{ detik}} = 7.27\times10^ {-5} \teks{ rad/s}
Jadi energi kinetik rotasi bumi adalah:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(9,69\times10^{37}\text{ kgm}^2)(7.27\times10^{- 5}\text{ rad/s})^2 = 2,56\times 10^{29}\text{ J}
Fakta menyenangkan: Ini lebih dari 10 kali total energi yang dikeluarkan matahari dalam satu menit!
Contoh 2:Sebuah silinder seragam bermassa 0,75 kg dan berjari-jari 0,1 m menggelinding melintasi lantai dengan kecepatan konstan 4 m/s. Berapakah energi kinetiknya?
Energi kinetik total diberikan oleh:
KE_{tot} = \frac{1}{2}I\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2
Dalam hal ini, saya = 1/2 mr2 adalah momen inersia untuk silinder padat, danωberhubungan dengan kecepatan linier melalui = v/r.
Menyederhanakan ekspresi energi kinetik total dan memasukkan nilai memberikan:
KE_{tot} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(v/r)^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1 }{4}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2\\ = \frac{3}{4}(0.75\text{ kg}) (4\teks{ m/d}) = 2,25\teks{ J}
Perhatikan bahwa kita bahkan tidak perlu menggunakan radius! Itu dibatalkan karena hubungan langsung antara kecepatan rotasi dan kecepatan linier.
Contoh 3:Seorang siswa dengan sepeda meluncur menuruni bukit dari keadaan diam. Jika ketinggian vertikal bukit adalah 30 m, berapa kecepatan siswa di dasar bukit? Asumsikan berat sepeda 8 kg, pengendara memiliki berat 50 kg, setiap roda memiliki berat 2,2 kg (termasuk dalam berat sepeda) dan setiap roda memiliki diameter 0,7 m. Perkirakan roda sebagai lingkaran dan anggap gesekan dapat diabaikan.
Di sini kita dapat menggunakan konservasi energi mekanik untuk menemukan kecepatan akhir. Energi potensial di puncak bukit diubah menjadi energi kinetik di bagian bawah. Energi kinetik itu adalah jumlah energi kinetik translasi dari seluruh orang + sistem sepeda, dan energi kinetik rotasi ban.
Energi total sistem:
E_{tot} = PE_{atas} = mgh = (50\text{ kg} + 8\text{ kg})(9,8\text{ m/s}^2)(30\text{ m}) = 17,052\ teks{ J}
Rumus untuk energi total dalam hal energi kinetik di bagian bawah bukit adalah:
E_{tot} = KE_{bottom} = \frac{1}{2}I_{ban}\omega^2 + \frac{1}{2}m_{tot}v^2\\ = \frac{1} {2}(2\kali m_{ban} \kali r_{tire}^2)(v/r_{tire})^2 + \frac{1}{2}m_{tot}v^2\\ = m_{tire}v^2 + \frac{1}{ 2}m_{tot}v^2\\ = (m_{ban} + \frac{1}{2}m_{tot})v^2
Memecahkan untukvmemberikan:
v = \sqrt{\frac{E_{tot}}{m_{ban} + \frac{1}{2}m_{tot}}}
Akhirnya, memasukkan angka kami mendapatkan jawaban kami:
v = \sqrt{\frac{17,052\text{ J}}{2,2\text{ kg} + \frac{1}{2}58\text{ kg}}} = 23,4 \text{ m/s}