Memecahkan misteri elektromagnetisme telah menjadi salah satu pencapaian terbesar fisika hingga saat ini, dan pelajaran yang dipetik sepenuhnya dikemas dalam persamaan Maxwell.
James Clerk Maxwell memberikan namanya untuk empat persamaan elegan ini, tetapi mereka adalah puncak dari beberapa dekade kerja oleh banyak fisikawan, termasuk Michael Faraday, Andre-Marie Ampere dan Carl Friedrich Gauss – yang memberikan nama mereka pada tiga dari empat persamaan – dan banyak lagi orang lain. Sementara Maxwell sendiri hanya menambahkan istilah ke salah satu dari empat persamaan, dia memiliki pandangan ke depan dan pemahaman untuk— kumpulkan yang terbaik dari pekerjaan yang telah dilakukan pada topik dan sajikan dengan cara yang masih digunakan oleh fisikawan hari ini.
Selama bertahun-tahun, fisikawan percaya listrik dan magnet adalah kekuatan yang terpisah dan fenomena yang berbeda. Tetapi melalui karya eksperimental orang-orang seperti Faraday, menjadi semakin jelas bahwa mereka sebenarnya adalah dua sisi dari fenomena yang sama, dan persamaan Maxwell menyajikan gambaran terpadu yang masih berlaku sampai sekarang seperti pada abad ke-19. abad. Jika Anda akan belajar fisika di tingkat yang lebih tinggi, Anda benar-benar perlu mengetahui persamaan Maxwell dan cara menggunakannya.
Persamaan Maxwell
Persamaan Maxwell adalah sebagai berikut, baik dalam bentuk diferensial maupun bentuk integral. (Perhatikan bahwa sementara pengetahuan tentang persamaan diferensial sangat membantu di sini, pemahaman konseptual mungkin bahkan tanpa itu.)
Hukum Gauss untuk Listrik
Bentuk diferensial:
\bm{∇∙E} = \frac{ρ}{ε_0}
Bentuk integral:
\int \bm{E } d\bm{A} = \frac{q}{ε_0}
Tidak Ada Hukum Monopole / Hukum Gauss untuk Magnetisme
Bentuk diferensial:
\bm{∇∙B} = 0
Bentuk integral:
\int \bm{B } d\bm{A} = 0
Hukum Induksi Faraday
Bentuk diferensial:
\bm{∇ × E} = \frac{∂\bm{B}}{∂t}
Bentuk integral:
\int \bm{E∙ }d\bm{s}= \frac{∂\phi_B}{ t}
Hukum Ampere-Maxwell / Hukum Ampere
Bentuk diferensial:
\bm{∇ × B} = \frac{J}{ _0 c^2} + \frac{1}{c^2} \frac{∂E}{∂t}
Bentuk integral:
\int \bm{B } d\bm{s} = _0 I + \frac{1}{c^2} \frac{∂}{∂t} \int \bm{E }d\bm{A }
Simbol yang Digunakan dalam Persamaan Maxwell
Persamaan Maxwell menggunakan banyak pilihan simbol, dan penting bagi Anda untuk memahami apa artinya ini jika Anda akan belajar menerapkannya. Jadi, inilah run-down dari makna simbol yang digunakan:
B= medan magnet
E= medan listrik
ρ= rapat muatan listrik electric
ε0= permitivitas ruang bebas = 8,854 × 10-12 saya-3 kg-1 s4 SEBUAH2
q= total muatan listrik (jumlah bersih muatan positif dan muatan negatif)
𝜙B = fluks magnet
J= rapat arus
saya= arus listrik
c= kecepatan cahaya = 2,998 × 108 MS
μ0 = permeabilitas ruang bebas = 4π × 10−7 T / A2
Selain itu, penting untuk diketahui bahwa adalah operator del, titik di antara dua kuantitas (X ∙ kamu) menunjukkan produk skalar, simbol perkalian yang dicetak tebal antara dua kuantitas adalah produk vektor (X × kamu), bahwa operator del dengan titik disebut "divergensi" (mis., . X= divergensi dariX= divX) dan operator del dengan produk skalar disebut curl (misalnya,× kamu= ikal darikamu= keritingkamu). Akhirnya,SEBUAHdi dSEBUAHberarti luas permukaan dari permukaan tertutup yang Anda hitung (kadang-kadang ditulis sebagai dS), dansdi dsadalah bagian yang sangat kecil dari batas permukaan terbuka yang Anda hitung (walaupun terkadang daku, mengacu pada komponen garis yang sangat kecil).
Derivasi Persamaan E
Persamaan pertama dari persamaan Maxwell adalah hukum Gauss, dan menyatakan bahwa fluks listrik bersih melalui permukaan tertutup sama dengan total muatan yang terkandung di dalam bentuk dibagi dengan permitivitas bebas ruang. Hukum ini dapat diturunkan dari hukum Coulomb, setelah mengambil langkah penting untuk menyatakan hukum Coulomb dalam bentuk medan listrik dan pengaruhnya terhadap muatan uji.
Persamaan Maxwell kedua pada dasarnya setara dengan pernyataan bahwa "tidak ada monopol magnetik." Ini menyatakan bahwa fluks magnet bersih melalui permukaan tertutup akan selalu 0, karena medan magnet selalu merupakan hasil dari a dipol. Hukum dapat diturunkan dari hukum Biot-Savart, yang menggambarkan medan magnet yang dihasilkan oleh elemen arus.
Persamaan ketiga - hukum induksi Faraday - menjelaskan bagaimana medan magnet yang berubah menghasilkan tegangan dalam loop kawat atau konduktor. Itu awalnya berasal dari percobaan. Namun, mengingat hasil bahwa fluks magnet yang berubah menginduksi gaya gerak listrik (EMF atau tegangan) dan dengan demikian arus listrik dalam loop kawat, dan fakta bahwa EMF didefinisikan sebagai garis integral dari medan listrik di sekitar sirkuit, hukum mudah untuk menempatkan bersama.
Persamaan keempat dan terakhir, hukum Ampere (atau hukum Ampere-Maxwell untuk memberikan penghargaan untuknya kontribusi) menggambarkan bagaimana medan magnet dihasilkan oleh muatan yang bergerak atau listrik yang berubah bidang. Hukum adalah hasil eksperimen (dan juga - seperti semua persamaan Maxwell - tidak benar-benar "diturunkan" dalam pengertian tradisional), tetapi menggunakanteorema Stokesmerupakan langkah penting dalam mendapatkan hasil dasar ke dalam bentuk yang digunakan saat ini.
Contoh Persamaan Maxwell: Hukum Gauss
Sejujurnya, terutama jika Anda tidak benar-benar memahami kalkulus vektor Anda, persamaan Maxwell terlihat cukup menakutkan meskipun semuanya relatif kompak. Cara terbaik untuk benar-benar memahaminya adalah melalui beberapa contoh penggunaannya dalam praktik, dan hukum Gauss adalah tempat terbaik untuk memulai. Hukum Gauss pada dasarnya adalah persamaan yang lebih mendasar yang melakukan pekerjaan hukum Coulomb, dan itu cukup mudah untuk menurunkan hukum Coulomb darinya dengan mempertimbangkan medan listrik yang dihasilkan oleh suatu titik biaya.
Memanggil biayaq, poin kunci untuk menerapkan hukum Gauss adalah memilih "permukaan" yang tepat untuk memeriksa fluks listrik yang melaluinya. Dalam hal ini, bola bekerja dengan baik, yang memiliki luas permukaan surfaceSEBUAH = 4πr2, karena Anda dapat memusatkan bola pada muatan titik. Ini adalah manfaat besar untuk memecahkan masalah seperti ini karena Anda tidak perlu mengintegrasikan berbagai bidang di seluruh permukaan; medan akan simetris di sekitar muatan titik, dan karenanya akan konstan di seluruh permukaan bola. Jadi bentuk integralnya:
\int \bm{E } d\bm{A} = \frac{q}{ε_0}
Dapat dinyatakan sebagai:
E × 4πr^2 = \frac{q}{ε_0}
Perhatikan bahwaEuntuk medan listrik telah diganti dengan besaran sederhana, karena medan dari suatu muatan titik akan menyebar secara merata ke segala arah dari sumbernya. Sekarang, membagi dengan luas permukaan bola memberikan:
E = \frac{q}{4πε_0r^2}
Karena gaya berhubungan dengan medan listrik denganE = F/q, dimanaqadalah muatan percobaan,F = qE, dan sebagainya:
F = \frac{q_1q_2}{4πε_0r^2}
Di mana subskrip telah ditambahkan untuk membedakan dua biaya. Ini adalah hukum Coulomb yang dinyatakan dalam bentuk standar, yang ditunjukkan sebagai konsekuensi sederhana dari hukum Gauss.
Contoh Persamaan Maxwell: Hukum Faraday
Hukum Faraday memungkinkan Anda untuk menghitung gaya gerak listrik dalam lingkaran kawat yang dihasilkan dari medan magnet yang berubah. Contoh sederhana adalah lingkaran kawat, dengan jari-jarir= 20 cm, dalam medan magnet yang besarnya bertambah dariBsaya = 1 T keBf = 10 T dalam ruanguntuk= 5 s – berapakah EMF yang diinduksi dalam kasus ini? Bentuk integral dari hukum melibatkan fluks:
\int \bm{E∙ }d\bm{s}= \frac{∂\phi_B}{ t}
yang didefinisikan sebagai:
= BA \cos (θ)
Bagian penting dari masalah di sini adalah menemukan laju perubahan fluks, tetapi karena masalahnya cukup mudah, Anda dapat mengganti turunan parsial dengan "perubahan" sederhana pada setiap kuantitas. Dan integral sebenarnya hanya berarti gaya gerak listrik, sehingga Anda dapat menulis ulang hukum induksi Faraday sebagai:
\text{EMF} = \frac{∆BA \cos (θ)}{∆t}
Jika kita menganggap loop kawat memiliki garis normalnya dengan medan magnet,θ= 0° dan cos (θ) = 1. Ini meninggalkan:
\text{EMF} = \frac{∆BA}{∆t}
Masalahnya kemudian dapat diselesaikan dengan mencari perbedaan antara medan magnet awal dan akhir dan luas loop, sebagai berikut:
\begin{aligned} \text{EMF} &= \frac{∆BA}{∆t} \\ &= \frac{(B_f - B_i) × πr^2}{∆t} \\ &= \frac{(10 \text{ T}- 1 \text{ T}) × × (0.2 \text{ m})^2}{5 \text{ s}} \\ &= 0,23 \text{ V } \end{selaras}
Ini hanya tegangan kecil, tetapi hukum Faraday diterapkan dengan cara yang sama.
Contoh Persamaan Maxwell: Hukum Ampere-Maxwell
Hukum Ampere-Maxwell adalah yang terakhir dari persamaan Maxwell yang harus Anda terapkan secara teratur. Persamaan kembali ke hukum Ampere tanpa adanya perubahan medan listrik, jadi ini adalah contoh termudah untuk dipertimbangkan. Anda dapat menggunakannya untuk menurunkan persamaan medan magnet yang dihasilkan dari kawat lurus yang dialiri arussaya, dan contoh dasar ini cukup untuk menunjukkan bagaimana persamaan digunakan. Hukum selengkapnya adalah:
\int \bm{B } d\bm{s} = _0 I + \frac{1}{c^2} \frac{∂}{∂t} \int \bm{E }d\bm{A }
Tetapi tanpa perubahan medan listrik, itu berkurang menjadi:
\int \bm{B } d\bm{s} = _0 I
Sekarang, seperti hukum Gauss, jika Anda memilih lingkaran untuk permukaan, berpusat pada loop kawat, intuisi menunjukkan bahwa medan magnet yang dihasilkan akan simetris, sehingga Anda dapat mengganti integral dengan produk sederhana keliling loop dan kekuatan medan magnet, meninggalkan:
B × 2πr = _0 I
Membagi dengan 2πrmemberikan:
B = \frac{μ_0 I}{2πr}
Yang merupakan ekspresi yang diterima untuk medan magnet di kejauhanrdihasilkan dari kawat lurus yang dialiri arus.
Gelombang elektromagnetik
Ketika Maxwell menyusun kumpulan persamaannya, dia mulai mencari solusi untuk membantu menjelaskan berbagai fenomena di dunia nyata, dan wawasan yang diberikannya ke dalam cahaya adalah salah satu hasil terpenting yang dia diperoleh.
Karena medan listrik yang berubah menghasilkan medan magnet (menurut hukum Ampere) dan medan magnet yang berubah menghasilkan medan listrik (menurut hukum Faraday), Maxwell menemukan bahwa gelombang elektromagnetik yang merambat sendiri mungkin bisa jadi. Dia menggunakan persamaannya untuk menemukan persamaan gelombang yang akan menggambarkan gelombang seperti itu dan menentukan bahwa gelombang itu akan merambat dengan kecepatan cahaya. Ini adalah semacam momen "eureka"; dia menyadari bahwa cahaya adalah bentuk radiasi elektromagnetik, bekerja seperti medan yang dia bayangkan!
Gelombang elektromagnetik terdiri dari gelombang medan listrik dan gelombang medan magnet yang berosilasi bolak-balik, sejajar di sudut kanan satu sama lain. Osilasi bagian listrik dari gelombang menghasilkan medan magnet, dan osilasi bagian ini pada gilirannya menghasilkan medan listrik lagi, terus dan terus saat bergerak melalui ruang.
Seperti gelombang lainnya, gelombang elektromagnetik memiliki frekuensi dan panjang gelombang, dan hasil kali keduanya selalu sama denganc, kecepatan cahaya. Gelombang elektromagnetik ada di sekitar kita, dan seperti halnya cahaya tampak, panjang gelombang lain yang biasa disebut gelombang radio, gelombang mikro, inframerah, ultraviolet, sinar-X, dan sinar gamma. Semua bentuk radiasi elektromagnetik ini memiliki bentuk dasar yang sama seperti yang dijelaskan oleh persamaan Maxwell, tetapi energinya bervariasi dengan frekuensi (yaitu, frekuensi yang lebih tinggi berarti energi yang lebih tinggi).
Jadi, bagi seorang fisikawan, Maxwell-lah yang berkata, "Jadilah cahaya!"