SEBUAHvektoradalah besaran yang memiliki besaran dan arah yang terkait dengannya. Ini berbeda dariskalarkuantitas, yang hanya sesuai dengan besaran. Kecepatan merupakan salah satu contoh besaran vektor. Ini memiliki besaran (seberapa cepat sesuatu berjalan) dan arah (arah perjalanannya.)
Vektor sering digambarkan sebagai panah. Panjang panah sesuai dengan besarnya vektor, dan titik panah menunjukkan arah.
Ada dua cara untuk mengerjakan penjumlahan dan pengurangan vektor. Yang pertama adalah secara grafis, dengan memanipulasi diagram panah dari vektor itu sendiri. Yang kedua adalah secara matematis, yang memberikan hasil yang tepat.
Penambahan dan Pengurangan Vektor Grafis dalam Satu Dimensi
Saat menambahkan dua vektor, Anda menempatkan ekor vektor kedua ke ujung vektor pertama sambil mempertahankan orientasi vektor. Ituvektor resultanadalah vektor yang berawal dari ekor vektor pertama dan berarah lurus ke ujung vektor kedua.
Misalnya, pertimbangkan untuk menambahkan vektorSEBUAHdanByang menunjuk ke arah yang sama sepanjang garis. Kami menempatkan mereka "ujung ke ekor" dan vektor yang dihasilkan,
Mengurangi vektor dalam satu dimensi pada dasarnya sama dengan menambahkan kecuali Anda "membalik" vektor kedua. Ini hasil langsung dari fakta bahwa pengurangan sama dengan menambahkan negatif.
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Matematika dalam Satu Dimensi
Ketika bekerja dalam satu dimensi, arah vektor dapat ditunjukkan dengan tanda. Kami memilih satu arah untuk menjadi arah positif (biasanya "atas" atau "kanan" dipilih sebagai positif), dan menetapkan vektor yang menunjuk ke arah itu sebagai kuantitas positif. Setiap vektor yang menunjuk ke arah negatif adalah besaran negatif. Saat menambahkan atau mengurangi vektor, tambahkan atau kurangi besarannya dengan tanda yang sesuai.
Misalkan pada bagian sebelumnya, vektorSEBUAHmemiliki magnitudo 3 dan vektorBmemiliki magnitudo 5. Maka resultan vektorC = A + B =8, vektor besarnya 8 menunjuk ke arah positif, dan vektor resultanD = A - B =-2, sebuah vektor dengan magnitudo 2 yang mengarah ke arah negatif. Perhatikan bahwa ini konsisten dengan hasil grafis dari sebelumnya.
Tip: Berhati-hatilah untuk hanya menambahkan vektor dengan jenis yang sama: kecepatan + kecepatan, gaya + gaya, dan seterusnya. Seperti semua matematika dalam fisika, unit harus cocok!
Penambahan dan Pengurangan Vektor Grafis dalam Dua Dimensi
Jika vektor pertama dan vektor kedua tidak sepanjang garis yang sama dalam ruang Cartesian, Anda dapat menggunakan metode "ujung ke ekor" yang sama untuk menambah atau menguranginya. Untuk menambahkan dua vektor, bayangkan saja mengangkat yang kedua dan menempatkan ekornya ke ujung yang pertama sambil mempertahankan orientasinya seperti yang ditunjukkan. Vektor yang dihasilkan adalah panah yang dimulai dari ekor vektor pertama dan berakhir di ujung vektor kedua:
Sama seperti dalam satu dimensi, mengurangkan satu vektor dari yang lain sama dengan membalik dan menjumlahkan. Secara grafis, ini terlihat seperti berikut:
•••Dan Chen | Sains
Catatan: Terkadang penjumlahan vektor ditunjukkan secara grafis dengan menyatukan ekor dari dua vektor tambahan dan membuat jajar genjang. Vektor yang dihasilkan adalah diagonal jajaran genjang ini.
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Matematika dalam Dua Dimensi
Untuk menambah dan mengurangi vektor dalam dua dimensi secara matematis, ikuti langkah-langkah berikut:
Uraikan setiap vektor menjadi intox-komponen, kadang-kadang disebut komponen horizontal, dan akamu-komponen, kadang-kadang disebut komponen vertikal, menggunakan trigonometri. (Perhatikan bahwa komponen dapat berupa negatif atau positif tergantung pada arah mana vektor menunjuk)
Tambahkanx-komponen dari kedua vektor bersama-sama, dan kemudian tambahkankamu-komponen dari kedua vektor bersama-sama. Hasil ini memberi Andaxdankamukomponen vektor yang dihasilkan.
Besarnya vektor resultan dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras.
Arah vektor yang dihasilkan dapat ditemukan melalui trigonometri menggunakan fungsi tangen terbalik. Arah ini biasanya diberikan sebagai sudut terhadap positifx-sumbu.
Trigonometri dalam Penambahan Vektor
Ingat hubungan antara sisi dan sudut segitiga siku-siku dari trigonometri.
\sin(\theta)=\frac{b}{c}\\\text{ }\\ \cos(\theta)=\frac{a}{c} \\\text{ }\\ \tan(\ theta)=\frac{b}{a}
Teori Pitagoras:
c^2=a^2+b^2
Gerak proyektil memberikan contoh klasik tentang bagaimana kita dapat menggunakan hubungan ini untuk menguraikan vektor dan menentukan besaran akhir dan arah vektor.
Pertimbangkan dua orang bermain menangkap. Misalkan Anda diberitahu bola dilemparkan dari ketinggian 1,3 m dengan kecepatan 16 m/s dengan sudut 50 derajat dengan horizontal. Untuk mulai menganalisis masalah ini, Anda perlu menguraikan vektor kecepatan awal ini menjadixdankamukomponen seperti yang ditunjukkan:
v_{xi}=v_i\cos(\theta)=16\times\cos (50)=10.3 \text{ m/s}\\ v_{yi}=v_i\sin(\theta)=16\times\sin (50)=12,3\teks{ m/s}
Jika penangkap meleset dan bola menyentuh tanah, dengan kecepatan akhir berapa bola itu akan mengenai?
Dengan menggunakan persamaan kinematik, kita dapat menentukan bahwa komponen akhir dari kecepatan bola adalah:
v_{xf}=10.3 \text{ m/s}\\ v_{yf}=-13.3\text{ m/s}
Teorema Pythagoras memungkinkan kita untuk menemukan besarnya:
v_{f}=\sqrt{(10.3)^2+ (-13.3)^2}=16.8\text{ m/s}
Dan trigonometri memungkinkan kita untuk menentukan sudut:
\theta=\tan^{-1}\Big(\frac{-13.3}{10.3}\Big)=-52.2\degree
Contoh Penambahan dan Pengurangan Vektor
Pertimbangkan sebuah mobil yang berbelok di tikungan. Seharusnyavsayauntuk mobil ada dix-arah dengan magnitudo 10 m/s, danvfberada pada sudut 45 derajat dengan positifx-sumbu dengan magnitudo 10 m/s. Jika perubahan gerak ini terjadi dalam 3 detik, berapakah besar dan arah percepatan mobil saat berbelok?
Ingat percepatan ituSebuahadalah besaran vektor yang didefinisikan sebagai:
a=\frac{(v_f-v_i)}{t}
Dimanavfdanvsayaadalah kecepatan akhir dan awal masing-masing (dan karenanya, juga besaran vektor).
Untuk menghitung selisih vektorvf - vsaya,pertama-tama kita harus menguraikan vektor kecepatan awal dan akhir:
v_{xi}=10\text{ m/s}\\ v_{yi}=0\text{ m/s}\\ v_{xf}=10\cos (45)=7.07\text{ m/s} \\ v_{yf}=10\sin (45)=7.07\text{ m/s}
Kemudian kita kurangi finalnyaxdankamukomponen dari awalxdankamukomponen untuk mendapatkan komponenvf - vsaya:
Kemudian kita kurangixdankamukomponen:
(v_f-v_i) _x=v_{xf}-v_{xi}=7.07-10=-2.93\text{ m/s}\\ (v_f-v_i) _y=v_{yf}-v_{yi}=7.07 -0=7.07\teks{ m/d}
Kemudian bagi masing-masing dengan waktu untuk mendapatkan komponen vektor percepatan:
a_x=\frac{-2.93}{3}=-0.977\text{ m/s}^2\\\text{ }\\ a_y=\frac{7.07}{3}=2.36\text{ m/s} ^2
Gunakan teorema Pythagoras untuk mencari besar vektor percepatan:
a=\sqrt{(-0.977)^2+(2.36)^2}=2.55\text{ m/s}^2
Akhirnya, gunakan trigonometri untuk menemukan arah vektor percepatan:
\theta=\tan^{-1}\Big(\frac{2.36}{-0.977}\Big)=113\degree