Distribusi Maxwell-Boltzmann: Fungsi, Derivasi & Contoh

Menggambarkan apa yang terjadi dengan partikel yang sangat kecil merupakan tantangan dalam fisika. Tidak hanya ukurannya yang sulit untuk dikerjakan, tetapi dalam sebagian besar aplikasi sehari-hari, Anda tidak berurusan dengan satu partikel pun, tetapi banyak dari mereka yang berinteraksi satu sama lain.

Di dalam benda padat, partikel tidak bergerak melewati satu sama lain, melainkan cukup banyak terjebak di tempatnya. Namun, padatan dapat mengembang dan menyusut dengan variasi suhu, dan kadang-kadang bahkan mengalami perubahan menarik menjadi struktur kristal dalam situasi tertentu.

Dalam cairan, partikel bebas bergerak melewati satu sama lain. Namun, para ilmuwan tidak cenderung mempelajari cairan dengan mencoba melacak apa yang dilakukan masing-masing molekul. Sebaliknya mereka melihat sifat yang lebih besar dari keseluruhan, seperti viskositas, kepadatan dan tekanan.

Seperti halnya cairan, partikel-partikel di dalam gas juga bebas bergerak melewati satu sama lain. Faktanya, gas dapat mengalami perubahan volume yang dramatis karena perbedaan suhu dan tekanan.

Sekali lagi, tidak masuk akal untuk mempelajari gas dengan melacak apa yang dilakukan masing-masing molekul gas, bahkan pada kesetimbangan termal. Itu tidak mungkin, terutama jika Anda mempertimbangkan bahwa bahkan di ruang gelas minum kosong ada sekitar 10²² molekul udara. Bahkan tidak ada komputer yang cukup kuat untuk menjalankan simulasi dari banyak molekul yang berinteraksi. Sebaliknya para ilmuwan menggunakan sifat makroskopik seperti tekanan, volume dan suhu untuk mempelajari gas dan membuat prediksi yang akurat.

Jenis gas yang paling mudah untuk dianalisis adalah gas ideal. Ini ideal karena memungkinkan penyederhanaan tertentu yang membuat fisika lebih mudah dipahami. Banyak gas pada suhu dan tekanan standar bertindak kira-kira sebagai gas ideal, yang membuat studi tentang mereka berguna juga.

Pada gas ideal, molekul-molekul gas itu sendiri diasumsikan bertumbukan dalam tumbukan lenting sempurna sehingga Anda tidak perlu khawatir tentang perubahan bentuk energi akibat tumbukan tersebut. Juga diasumsikan bahwa molekul-molekulnya sangat berjauhan satu sama lain, yang pada dasarnya berarti Anda tidak perlu khawatir tentang mereka saling bertarung untuk mendapatkan ruang dan dapat memperlakukan mereka sebagai poin partikel. Gas ideal juga tidak terlalu panas dan tidak terlalu dingin, sehingga Anda tidak perlu khawatir dengan efek seperti ionisasi atau efek kuantum.

Dari sini partikel gas dapat diperlakukan seperti partikel titik kecil yang memantul di dalam wadahnya. Tetapi bahkan dengan penyederhanaan ini, masih tidak layak untuk memahami gas dengan melacak apa yang dilakukan masing-masing partikel. Namun, itu memungkinkan para ilmuwan untuk mengembangkan model matematika yang menggambarkan hubungan antara kuantitas makroskopik.

Hukum gas ideal menghubungkan tekanan, volume, dan suhu gas ideal. TekananPgas adalah gaya per satuan luas yang diberikannya pada dinding wadah tempat ia berada. Satuan SI untuk tekanan adalah pascal (Pa) dimana 1Pa = 1N/m². VolumeVgas adalah jumlah ruang yang digunakan dalam satuan SI m³. Dan suhuTgas adalah ukuran energi kinetik rata-rata per molekul, diukur dalam satuan SI Kelvin.

Persamaan yang menjelaskan hukum gas ideal dapat ditulis sebagai berikut:

Dimanatidakadalah jumlah molekul atau jumlah partikel dan konstanta Boltzmannk​ = 1.38064852×10^-23 kgm²/s²K

Rumusan yang setara dari undang-undang ini adalah:

Dimanatidakadalah jumlah mol, dan konstanta gas universalR= 8,3145 J/molK.

Kedua ekspresi ini setara. Yang mana yang Anda pilih untuk digunakan hanya bergantung pada apakah Anda mengukur jumlah molekul Anda dalam mol atau jumlah molekul.

• 1 mol = 6,022×10²³ molekul, yang merupakan bilangan Avogadro.

Setelah gas didekati sebagai ideal, Anda dapat membuat penyederhanaan tambahan. Artinya, alih-alih mempertimbangkan fisika yang tepat dari setiap molekul – yang tidak mungkin karena jumlahnya yang banyak – mereka diperlakukan seolah-olah gerakan mereka acak. Karena itu, statistik dapat diterapkan untuk memahami apa yang sedang terjadi.

Pada abad ke-19, fisikawan James Clerk Maxwell dan Ludwig Boltzmann mengembangkan teori kinetik gas berdasarkan penyederhanaan yang dijelaskan.

Secara klasik, setiap molekul dalam gas dapat memiliki energi kinetik yang dikaitkan dengannya dalam bentuk:

Namun, tidak setiap molekul dalam gas memiliki energi kinetik yang sama karena mereka terus-menerus bertabrakan. Distribusi yang tepat dari energi kinetik molekul diberikan oleh distribusi Maxwell-Boltzmann.

Statistik Maxwell-Boltzmann menggambarkan distribusi molekul gas ideal di berbagai keadaan energi. Fungsi yang menjelaskan distribusi ini adalah sebagai berikut:

DimanaSEBUAHadalah konstanta normalisasi,Eadalah energi,kadalah konstanta Boltzmann danTadalah suhu.

Asumsi lebih lanjut yang dibuat untuk mendapatkan fungsi ini adalah bahwa, karena sifat partikel titiknya, tidak ada batasan berapa banyak partikel yang dapat menempati keadaan tertentu. Juga, distribusi partikel di antara keadaan energi harus mengambil distribusi yang paling mungkin (dengan jumlah partikel yang lebih besar, kemungkinan gas tidak dekat dengan distribusi ini menjadi semakin kecil). Dan akhirnya, semua keadaan energi memiliki kemungkinan yang sama.

Statistik ini bekerja karena sangat tidak mungkin bahwa partikel tertentu dapat berakhir dengan energi yang jauh di atas rata-rata. Jika ya, itu akan menyisakan lebih sedikit cara untuk sisa energi total didistribusikan. Ini bermuara pada permainan angka – karena ada jauh lebih banyak keadaan energi yang tidak memiliki partikel jauh di atas rata-rata, kemungkinan sistem berada dalam keadaan seperti itu semakin kecil.

Namun, energi yang lebih rendah dari rata-rata lebih mungkin, sekali lagi karena bagaimana probabilitas bermain. Karena semua gerak dianggap acak dan ada lebih banyak cara partikel dapat berakhir dalam keadaan energi rendah, keadaan ini lebih disukai.

Distribusi Maxwell-Boltzmann adalah distribusi kecepatan partikel gas ideal. Fungsi distribusi kecepatan ini dapat diturunkan dari statistik Maxwell-Boltzmann dan digunakan untuk menurunkan hubungan antara tekanan, volume, dan suhu.

Distribusi kecepatanvdiberikan oleh rumus berikut:

Dimanasayaadalah massa molekul.

Kurva distribusi terkait, dengan fungsi distribusi kecepatan padakamu-sumbu dan kecepatan molekul padax-sumbu, terlihat kira-kira seperti kurva normal asimetris dengan ekor yang lebih panjang di sebelah kanan. Ini memiliki nilai puncak pada kecepatan yang paling mungkinv_p, dan kecepatan rata-rata diberikan oleh:

Perhatikan juga bagaimana ia memiliki ekor yang panjang dan sempit. Kurva sedikit berubah pada suhu yang berbeda, dengan ekor panjang menjadi "lebih gemuk" pada suhu yang lebih tinggi.

Gunakan hubungan:

DimanaE_{ke dalam}adalah energi dalam,KE​_{​rata-rata​} adalah energi kinetik rata-rata per molekul dari distribusi Maxwell-Boltzmann. Bersama dengan hukum gas ideal, mungkin untuk mendapatkan hubungan antara tekanan dan volume dalam hal gerakan molekul: