Cara Mencari dy/dx dengan Diferensiasi Implisit Diberikan Persamaan Serupa dengan y=sin (xy)

Diferensiasi implisit adalah teknik yang digunakan untuk menentukan turunan suatu fungsi dalam bentuk y = f (x).

Untuk mempelajari bagaimana menggunakan diferensiasi implisit, kita dapat menggunakan metode pada contoh sederhana dan kemudian menjelajahi beberapa kasus yang lebih kompleks.

Meskipun kedengarannya lebih rumit, diferensiasi implisit menggunakan semua matematika dan keterampilan yang sama sebagai diferensiasi dasar. Hal penting yang perlu diperhatikan, bagaimanapun, adalah bahwa variabel dependen kita sekarang muncul dalam fungsi itu sendiri.

Ambil persamaan sederhana seperti xy = 1. Ada dua cara untuk mencari turunan dari kamu dengan hormat x, atau dy/dx. Pertama, kita bisa menyelesaikannya untuk kamu dalam persamaan dan gunakan aturan pangkat untuk turunan. Melakukan hal ini akan menghasilkan: y = 1/x. Menerapkan aturan pangkat karena itu akan mengungkapkan bahwa dy/dx = -1/x².

Kita juga dapat mengerjakan soal ini dengan menggunakan diferensiasi implisit. Untungnya, kita sudah tahu jawabannya (seharusnya sama terlepas dari bagaimana kita menghitungnya), jadi kita bisa memeriksa pekerjaan kita!

Untuk memulai, terapkan turunan ke kedua ruas persamaan xy = 1. Maka, d/dx (xy) = d/dx (1); jelas sisi kanan sekarang sama dengan 0, tetapi sisi kiri membutuhkan aturan rantai. Ini karena kita mengambil turunan dari fungsi kita, kamu, sementara itu dikalikan dengan faktor lain dari x. Untuk menghitungnya: d/dx (x) y + x (d/dx (y)) = y + xy'. Kami akan menggunakan notasi prima untuk menunjukkan turunan sehubungan dengan x.

Menulis ulang persamaan kita menghasilkan: y + xy' = 0. Saatnya untuk memecahkan kamu dalam persamaan kita! Jelas, y' = -y/x. Tetapi dengan menggunakan informasi asli, kita tahu bahwa y = 1/x, jadi kita dapat menggantinya kembali. Setelah kita melakukannya, kita melihat bahwa y' = -1/x², seperti yang kita temukan sebelumnya.

Untuk menentukan turunan dari y = sin (xy), kita akan menggunakan turunan implisit dengan mengingat bahwa (d/dx) y = y'.

Pertama, terapkan turunan pada kedua ruas persamaan: d/dx (y) = d/dx (sin (xy)). Sisi kiri persamaan jelas kamu, itulah yang perlu kita selesaikan, tetapi sisi kanan akan membutuhkan beberapa pekerjaan; khususnya, aturan rantai dan aturan produk. Pertama, aturan rantai perlu diterapkan ke sin (xy), dan kemudian aturan produk untuk argumen xy. Untungnya kami sudah menghitung aturan produk ini.

Selanjutnya, penyederhanaan ini menghasilkan: y' = cos (xy)(y + xy').

Jelas, persamaan ini perlu dipecahkan untuk kamu untuk menentukan bagaimana kamu berhubungan dengan x dan kamu.

Pisahkan semua suku dengan kamu di satu sisi: y' - xy'cos (xy) = ycos (xy).

Kemudian faktorkan kamu untuk mendapatkan: y'(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

Sekarang kita lihat bahwa y' = ycos (xy)/(1-xcos (xy)).

Penyederhanaan lebih lanjut saya diperlukan, tetapi karena fungsi kami didefinisikan secara rekursif, memasukkan y = sin (xy) kemungkinan tidak akan menghasilkan solusi yang memuaskan. Dalam hal ini, informasi lebih lanjut atau metode yang lebih canggih untuk memplot persamaan ini mungkin berguna.

Pertama, ingat bahwa diferensiasi implisit bergantung pada salah satu variabel menjadi fungsi yang lain. Umumnya, kita melihat fungsi sebagai y = f (x), tetapi kita dapat menulis fungsi x = f (y). Berhati-hatilah saat mendekati masalah ini untuk menentukan variabel mana yang bergantung pada variabel lain.

Selanjutnya, ingatlah untuk menerapkan aturan turunan dengan hati-hati. Diferensiasi implisit akan sangat sering membutuhkan aturan rantai, serta aturan produk dan aturan hasil bagi. Menerapkan metode ini dengan benar akan sangat penting untuk menentukan jawaban akhir.

Akhirnya, selesaikan turunan yang diinginkan dengan mengisolasinya, dan menyederhanakan ekspresi sebanyak mungkin.