A "szinusz" a derékszögű háromszög két oldalának aránya matematikai rövidítésként, törtben kifejezve: a szemközti oldal bármilyen szöget mér, az a frakció számlálója, és a derékszögű háromszög hipotenusa a névadó. Miután elsajátította ezt a koncepciót, a szinuszok törvényeként ismert képlet építőelemévé válik, amelyet fel lehet használni hiányzó szögek és oldalak egy háromszög számára, amennyiben ismeri legalább két szöget és egy oldalát, vagy két oldalát és egyet szög.
Összefoglalva a szinuszok törvényét
A szinuszok törvénye megmondja, hogy egy háromszög szöge és a vele szemközti oldal aránya megegyezik a háromszög mindhárom szögében. Vagy másképp fogalmazva:
bűn (A) /a = bűn (B) /b = bűn (C) /c, ahol A, B és C a háromszög szöge, és a, b és c azokkal a szögekkel szemközti oldalak hossza.
Ez a forma a leghasznosabb a hiányzó szögek megtalálásához. Ha a szinuszok törvényét használja a háromszög egyik oldalának hiányzó hosszának megtalálásához, akkor a szinuszokkal is beírhatja a nevezőbe:
a/ bűn (A) = b/ bűn (B) = c/sin(C)
Hiányzó szög megtalálása a szinuszok törvényével
Képzelje el, hogy van egy háromszöge, amelynek egyetlen ismert szöge van - mondjuk az A szög 30 fokos. A háromszög két oldalának mértékét is ismeri: oldal a, amely ellentétes az A szöggel, 4 egységet és oldalt mér b 6 egységet mér.
Vigyázzon a szinuszok törvényének kétértelmű esetére, amely akkor merülhet fel, ha Ön, mint ebben a problémában, figyelembe veszi a két oldal hosszát és egy olyan szöget, amely nincs közöttük. A kétértelmű eset egyszerűen figyelmeztetés arra, hogy ebben a konkrét körülmények között két válasz lehet. Már talált egy lehetséges választ. Egy másik lehetséges válasz elemzéséhez vonja le az imént talált szöget 180 fokról. Adja hozzá az eredményt az első ismert szögéhez. Ha az eredmény kevesebb, mint 180 fok, akkor ez az "eredmény", amelyet most hozzáadott az első ismert szöghez, egy második lehetséges megoldás.
Írja be az összes ismert információt a szinuszok törvényének első formájába, amely a legjobb a hiányzó szögek megtalálásához:
bűn (30) / 4 = bűn (B) / 6 = bűn (C) /c
Ezután válassza ki a célt; ebben az esetben keresse meg a B szög mértékét
A probléma felállítása olyan egyszerű, mint ennek az egyenletnek az első és a második kifejezését egymással egyenlővé állítani. Most nem kell aggódnia a harmadik ciklus miatt. Szóval neked van:
bűn (30) / 4 = bűn (B) / 6
Számológéppel vagy táblázattal keresse meg az ismert szög szinuszát. Ebben az esetben a bűn (30) = 0,5, tehát megvan:
(0,5) / 4 = sin (B) / 6, ami leegyszerűsíti:
0,125 = bűn (B) / 6
Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 6-mal az ismeretlen szög szinuszmérésének elkülönítésére. Ez megadja:
0,75 = bűn (B)
A számológéppel vagy egy táblázattal keresse meg az ismeretlen szögű inverz szinuszt vagy ívet. Ebben az esetben a 0,75 inverz szinusz körülbelül 48,6 fok.
Figyelmeztetések
Oldalt találni a szinuszok törvényével
Képzelje el, hogy van egy háromszöge, amelynek ismert szöge 15 és 30 fok (nevezzük őket A-nak és B-nek), és az oldal hossza a, amely ellentétes az A szöggel, 3 egység hosszú.
Mint korábban említettük, a háromszög három szöge mindig elérheti a 180 fokot. Tehát, ha már tud két szöget, akkor megtalálja a harmadik szög mértékét úgy, hogy kivonja az ismert szögeket 180-ból:
180 - 15 - 30 = 135 fok
Tehát a hiányzó szög 135 fok.
Töltse ki a már ismert információkat a szinuszok törvényének képletébe a második űrlap használatával (ami a legegyszerűbb a hiányzó oldal kiszámításakor):
3 / sin (15) = b/ bűn (30) = c/sin(135)
Válassza ki, hogy melyik hiányzó oldalt szeretné megtalálni. Ebben az esetben a kényelem érdekében keresse meg az oldal hosszát b.
A probléma felállításához a szinuszok törvényében megadott szinuszkapcsolatok közül kettőt kell választania: A célt tartalmazó oldalt b), és akinek már minden információt tud (ez az oldal a és A szög). Állítsa egyenlővé ezt a két szinuszkapcsolatot:
3 / sin (15) = b/sin(30)
Most oldja meg b. Kezdje azzal, hogy a számológépével vagy egy táblázattal megtalálja a bűn (15) és a bűn (30) értékeit, és kitölti azokat az egyenletedbe (ennek a példának a kedvéért használd az 0,5 töredéket 0,5 helyett), amely megadja Ön:
3/0.2588 = b/(1/2)
Ne feledje, hogy a tanár megmondja, hogy meddig (és ha) kerekítse szinuszértékeit. Azt is megkérhetik, hogy használja a szinuszfüggvény pontos értékét, amely bűn (15) esetén nagyon rendetlen (√6 - √2) / 4.
Ezután egyszerűsítse az egyenlet mindkét oldalát, ne feledje, hogy a törttel való osztás megegyezik az inverzével való szorzással:
11,5920 = 2_b_
A kényelem kedvéért váltson az egyenlet oldalaira, mivel a változók általában a bal oldalon találhatók:
2_b_ = 11,5920
És végül fejezze be a megoldást b. Ebben az esetben csak annyit kell tennie, hogy az egyenlet mindkét oldalát elosztja 2-vel, ami megadja:
b = 5.7960
Tehát a háromszög hiányzó oldala 5,7960 egység hosszú. Ugyanolyan könnyen használhatja ugyanazt az eljárást az oldal megoldására c, a szinuszok törvényében határozza meg a terminust, amely megegyezik az oldal kifejezésével a, mivel már tudja az oldal teljes információit.