Képzelje el, hogy egy tökéletesen kör alakú aréna közepén áll. Kinéz a tömeg felé az aréna oldalán, és egy helyen meglátja a legjobb barátját, és a középiskolai matematikatanárát pár szakaszon keresztül. Mi a távolság köztük és közted? Milyen messzire kellene gyalogolnia ahhoz, hogy a barátja és a tanári szék között utazzon? Milyen mértékűek a szögek közöttetek? Ezek mind a központi szögekkel kapcsolatos kérdések.
A központi szög az a szög, amely akkor jön létre, amikor két sugarat húzunk a kör közepétől a széleig. Ebben a példában a két sugár a két látótávolságod: tőled, az aréna közepén, a barátodig, és a látóvonalad a tanárod felé. A két vonal között kialakuló szög a központi szög. Ez a kör középpontjához legközelebb eső szög.
A barátod és a tanárod a körméret vagy a kör széleit. Az őket összekötő aréna útja egy ív.
Keresse meg a középső szöget az ívhossz és a kerület alapján
Van néhány egyenlet, amelyek segítségével megtalálhatja a középső szöget. Néha megkapja a ívhossz, a két pont közötti kerületi távolság. (A példában ez az a távolság, amelyet meg kell haladnia az arénában, hogy eljusson barátjától a tanárához.) A középső szög és az ívhossz közötti kapcsolat:
(ívhossz) ÷ kerülete = (középső szög) ÷ 360 °
A középső szög fokban lesz.
Ennek a képletnek van értelme, ha belegondol. Az ív hossza a kör körüli teljes hossztól (kerület) megegyezik az ív szögével a kör teljes szögéből (360 fok).
Az egyenlet hatékony használatához ismernie kell a kör kerületét. De használhatja ezt a képletet az ívhossz megtalálásához is, ha ismeri a középső szöget és a kerületet. Vagy ha megvan az ívhossz és a középső szög, megtalálja a kerületet!
Keresse meg a középső szöget az ívhossz és a sugár alapján
Használhatja a kör sugarát és az ív hosszát is a középső szög megtalálásához. Hívjuk meg a középső szög measure értékét. Azután:
θ = s÷ r, ahol s az ívhossz és r a sugár. A rad radiánban mérhető.
Ismét átrendezheti ezt az egyenletet a rendelkezésére álló információktól függően. Az ív hosszát a sugárból és a középső szögből találhatja meg. Vagy megtalálja a sugarat, ha megvan a középső szög és az ívhossz.
Ha szeretné az ívhosszat, az egyenlet a következőképpen néz ki:
s =θ * r, ahol s az ívhossz, r a sugár és θ a középső szög radiánban.
A középső szög tétel
Tegyünk hozzá egy csavart a példájához, ahol az arénában tartózkodsz a szomszéddal és a tanároddal. Most van egy harmadik személy, akit ismersz az arénában: a szomszéd szomszéd. És még egy dolog: mögötted vannak. Meg kell fordulnia, hogy lássa őket.
A szomszédod megközelítőleg az arénában van a barátodtól és a tanárodtól. A szomszéd szempontjából egy szöget képez a látóvonaluk a baráthoz és a látóvonaluk a tanárhoz. Ezt nevezzük beírt szögnek. An felírt szög egy szög, amelyet három pont alkot a kör kerületén.
A Központi szög tétel elmagyarázza az Ön által alkotott középső szög és a szomszéd által alkotott beírt szög közötti kapcsolatot. A Központi szög tétel azt állítja a központi szög kétszerese a felírt szögnek. (Ez feltételezi, hogy ugyanazokat a végpontokat használja. Mind a tanárra, mind a barátra nézel, senki másra nem.
Íme egy másik módja annak megírásának. Hívjuk a barátja A, a tanár B és a szomszéd C helyét. Te, a középpontban, O. lehetsz.
Tehát három A, B és C pont egy kör kerülete mentén és az O pont a közepén, az ∠AOC központi szög kétszerese a beírt szögnek ∠ABC.
Vagyis OCAOC = 2∠ABC.
Ennek van értelme. Közelebb állsz a baráthoz és a tanárhoz, így neked messzebbre néznek (nagyobb szög). A stadion másik oldalán lévő szomszédodhoz sokkal közelebb néznek egymáshoz (kisebb szög).
Kivétel a Központi Szög Tétel alól
Tegyük át a dolgokat. A szomszéd az aréna túlsó oldalán mozogni kezd! Még mindig látnak egy vonalat a barát és a tanár felé, de a vonalak és a szögek folyamatosan változnak, ahogy a szomszéd mozog. Találd ki: Amíg a szomszéd az íven kívül marad a barát és a szomszéd között, a Központi Szög Tétel továbbra is igaz!
De mi történik, ha a szomszéd megmozdul között a barát és a tanár? Most a szomszédod bent van kisebb ív, a barát és a tanár közötti viszonylag kis távolság az aréna többi részének nagyobb távolságához képest. Ezután kivételt ér el a Központi szög tétel alól.
A kivétel a Központi Szög Tétel alól kijelenti, hogy amikor a C pont, a szomszéd a kisebb ív belsejében van, a beírt szög a középső szög felének a kiegészítése. (Ne feledje, hogy egy szög és annak kiegészítés 180 fokig.)
Így: beírt szög = 180 - (középső szög ÷ 2)
Vagy: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Képzeld el
A Math Open Reference eszköz rendelkezik a Központi szög tétel és annak kivételének vizualizálására. Meg kell húznia a "szomszédot" a kör minden különböző részére, és figyelnie kell a szögek változását. Próbálja ki, ha vizuális vagy extra gyakorlatot szeretne!
