Amint elkezdi megoldani a polinomokat magában foglaló algebrai egyenleteket, a polinomok speciális, könnyen feldolgozható formáinak felismerésére való képesség nagyon hasznos lesz. Az egyik leghasznosabb "könnyen faktoros" polinom, amelyet észlelni lehet, a tökéletes négyzet, vagy a trinomium, amely egy binomiális négyzetből áll. Miután azonosított egy tökéletes négyzetet, az egyes összetevőkbe való beillesztése gyakran a probléma-megoldási folyamat létfontosságú része.
Mielőtt figyelembe vehetne egy tökéletes négyzet alakú háromszöget, meg kell tanulnia felismerni. A tökéletes négyzet kétféle formát ölthet
a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ text {, amely a (a + b) (a + b) = (a + b) ^ 2 \\ a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 \ text szorzata {, amely a (a - b) (a - b) = (a - b) ^ 2 szorzata
Ellenőrizze a trinomium első és harmadik tagját. Mindkettő négyzet? Ha igen, akkor derítse ki, hogy melyek ezek a négyzetek. Például a fent említett második "valós világ" példában:
y ^ 2 - 2y + 1
a kifejezésy2 négyzete nyilvánvalóany.Az 1 kifejezés talán kevésbé nyilvánvalóan az 1 négyzete, mert 12 = 1.
Szorozzuk meg együtt az első és a harmadik kifejezés gyökerét. A példát folytatva, ezyés 1, amely megadjay × 1 = 1yvagy egyszerűeny.
Ezután szorozza meg a termékét 2-vel. A példát folytatva van 2y.
Végül hasonlítsa össze az utolsó lépés eredményét a polinom középső tagjával. Egyeznek? A polinombany2 – 2y+ 1, megteszik. (A jel nem releváns; az is meccs lenne, ha a középtáv +2 lenney.)
Mivel az 1. lépésben a válasz "igen" volt, és a 2. lépésből származó eredménye megegyezik a polinom középső tagjával, tudod, hogy egy tökéletes négyzet alakú háromszöget nézel.
Miután megtudta, hogy egy tökéletes négyzet alakú háromszöget néz, a faktoring folyamata meglehetősen egyszerű.
Határozza meg a gyökereket vagy a négyzetben lévő számokat a trinomium első és harmadik tagjában. Vegyünk egy másik példát a trinomálisokra, amelyekről már tudja, hogy tökéletes négyzet:
x ^ 2 + 8x + 16
Nyilvánvaló, hogy az első ciklusban a négyzet négyzetx. A harmadik tag négyzetre négyzete 4, mert 42 = 16.
Gondoljon vissza a tökéletes négyzet alakú trinomálisok képleteire. Tudja, hogy tényezői a következő formát öltenék (a + b)(a + b) vagy az űrlapot (a – b)(a – b), holaésba számok az első és a harmadik tagban négyzetesek. Tehát így kiírhatja a tényezőket, eltekintve az egyes kifejezések közepén lévő jelektől:
(a \,? \, b) (a \,? \, b) = a ^ 2 \,? \, 2ab + b ^ 2
A példa folytatásához a jelenlegi trinomium gyökereinek helyettesítésével:
(x \,? \, 4) (x \,? \, 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Ellenőrizze a trinomium középső tagját. Van pozitív vagy negatív előjele (vagy másképpen fogalmazva, összeadódik vagy kivonódik)? Ha pozitív előjellel rendelkezik (vagy hozzáadásra kerül), akkor a trinomium mindkét tényezőjének középen van egy pluszjel. Ha negatív előjellel rendelkezik (vagy kivonásra kerül), akkor mindkét tényező negatív előjellel rendelkezik középen.
A jelenlegi trinomiális példa középső tagsága 8x- pozitív - tehát a tökéletes négyzet alakú háromszöget alkotta meg:
(x + 4) (x + 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Ellenőrizze munkáját a két tényező együttes szorzásával. A FOIL vagy az első, külső, belső, utolsó módszer alkalmazása:
x ^ 2 + 4x + 4x + 16
Ennek egyszerűsítése megadja az eredménytx2 + 8x+ 16, amely megegyezik a trinomialjával. Tehát a tényezők helyesek.
