A kitevõkkel való bánásmód megtanulása minden matematikaoktatás szerves részét képezi, de szerencsére a szaporításuk és osztásuk szabályai megegyeznek a nem töredékes kitevõkre vonatkozó szabályokkal. Az első lépés ahhoz, hogy megértsük, hogyan kell kezelni a töredékes kitevőket, áttekintjük, hogy pontosan mik is, és utána megnézheti, hogyan kombinálhatja az exponenseket, ha azok szorzódnak vagy osztódnak, és ugyanazok vannak bázis. Röviden: összeadod a kitevőket szorzáskor, és osztáskor kivonod az egyiket a másikból, feltéve, hogy ugyanaz az alapjuk.
TL; DR (túl hosszú; Nem olvastam)
Szorozzon kifejezéseket az exponensekkel az általános szabály használatával:
xa + xb = x(a + b)
És ossza meg a kifejezéseket a kitevõkkel a szabály használatával:
xa ÷ xb = x(a – b)
Ezek a szabályok a kifejezés helyett bármilyen kifejezéssel működnekaésb, sőt töredékek.
Mik azok a töredékes kitevők?
A töredékes kitevők kompakt és hasznos módszert kínálnak a négyzet, a kocka és a magasabb gyökér kifejezésére. A nevező az exponensen megmondja, hogy az „alap” szám mely gyökerét képviseli a kifejezés. Olyan kifejezéssel, mint
xa, te hívszxaz alap ésaa kitevő. Tehát egy tört kitevő megmondja:x ^ {1/2} = \ sqrt {x}
A kettő nevezője a kitevőben azt mondja, hogy a négyzetgyökét veszedxebben a kifejezésben. Ugyanez az alapszabály vonatkozik a magasabb szintű gyökerekre is:
x ^ {1/3} = \ sqrt [3] {x}
És
x ^ {1/4} = \ sqrt [4] {x}
Ez a minta folytatódik. Konkrét példa:
9 ^ {1/2} = \ sqrt {9} = 3
És
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
Törtetű kitevő szabályok: A töredékes kitevők szorzata ugyanazzal az alaptal
Szorozzuk meg a tagokat a tört tagokkal (feltéve, hogy ugyanaz az alapjuk), összeadva a kitevőket. Például:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x ^ 1 = x
Mivelx1/3 jelentése: „kocka gyökerex, ”Teljesen logikus, hogy ez önmagában kétszer megszorozva megadja az eredménytx. Találkozhat olyan példákkal is, mintx1/3 × x1/3, de ezeket pontosan ugyanúgy kezeled:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3)} \\ = x ^ {2/3}
Az a tény, hogy a végén lévő kifejezés még mindig tört kitevő, nem változtat a folyamaton. Ez egyszerűsíthető, ha ezt megjegyzix2/3 = (x1/3)2 = ∛x2. Egy ilyen kifejezéssel nem mindegy, hogy először a gyökeret vagy a hatalmat veszed át. Ez a példa bemutatja, hogyan lehet ezeket kiszámítani:
8 ^ {1/3} + 8 ^ {1/3} = 8 ^ {2/3} \\ = (\ sqrt [3] {8}) ^ 2
Mivel a 8-as kocka gyökér könnyen kidolgozható, ezt az alábbiak szerint kell megoldani:
(\ sqrt [3] {8}) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4
Tehát ez azt jelenti:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
Találkozhat olyan frakcionális kitevők termékeivel is, amelyek különböző számokkal szerepelnek a törtek nevezőiben, és ezeket a kitevőket ugyanúgy veheti fel, mint más frakciókat. Például:
\ begin {aligned} x ^ {1/4} × x ^ {1/2} & = x ^ {(1/4 + 1/2)} \\ & = x ^ {(1/4 + 2/4 )} \\ & = x ^ {3/4} \ end {igazítva}
Mindezek két kifejezés és szorzók szorzásának általános szabályának specifikus kifejezései:
x ^ a + x ^ b = x ^ {(a + b)}
Törtetű kitevő szabályok: A töredékes kitevők osztása ugyanazzal az alappal
Két szám felosztása törtrészes hatványokkal úgy, hogy kivonja az osztandó hatványt (osztót) az osztandóval (osztalék). Például:
x ^ {1/2} ÷ x ^ {1/2} = x ^ {(1/2 - 1/2)} \\ = x ^ 0 = 1
Ennek van értelme, mert bármely önmagában elosztott szám egyenlő eggyel, és ez egyetért azzal a standard eredménnyel, hogy bármely 0-hatványra emelt szám egyenlő. A következő példa számokat használ alapként és különböző kitevőként:
\ begin {igazítva} 16 ^ {1/2} ÷ 16 ^ {1/4} & = 16 ^ {(1/2 - 1/4)} \\ & = 16 ^ {(2/4 - 1/4 )} \\ & = 16 ^ {1/4} \\ & = 2 \ vége {igazítva}
Amit akkor is láthat, ha megjegyzi, hogy 161/2 = 4 és 161/4 = 2.
A szorzáshoz hasonlóan előfordulhat, hogy olyan tört kitevőkhöz is jut, amelyeknek a számlálóban nem egy száma van, de ugyanúgy foglalkozik ezekkel.
Ezek egyszerűen kifejezik a kitevők osztására vonatkozó általános szabályt:
x ^ a ÷ x ^ b = x ^ {(a - b)}
A töredékes kitevők szorzása és megosztása különböző alapokban
Ha a kifejezések alapjai eltérnek, nincs egyszerű módszer a kitevők szorzására vagy felosztására. Ezekben az esetekben egyszerűen számolja ki az egyes kifejezések értékét, majd hajtsa végre a szükséges műveletet. Az egyetlen kivétel, ha a kitevő ugyanaz, ebben az esetben az alábbiak szerint szorozhatja vagy oszthatja őket:
x ^ 4 × y ^ 4 = (xy) ^ 4 \\ x ^ 4 ÷ y ^ 4 = (x ÷ y) ^ 4