A másodfokú egyenlet az, amely egyetlen változót tartalmaz, és amelyben a változó négyzetes. Az ilyen típusú egyenlet standard formája, amely grafikusan mindig parabolt állít elő, azfejsze2 + bx + c= 0, ahola, béscállandók. A megoldások megtalálása nem olyan egyszerű, mint egy lineáris egyenlet esetében, és ennek részben az az oka, hogy a négyzetes kifejezés miatt mindig két megoldás létezik. A másodfokú egyenlet megoldására a három módszer egyikét használhatja. Faktorozhatja a kifejezéseket, amelyek az egyszerűbb egyenleteknél működnek a legjobban, vagy kitöltheti a négyzetet. A harmadik módszer a másodfokú képlet használata, amely általános megoldást nyújt minden másodfokú egyenletre.
A másodfokú képlet
A forma általános másodfokú egyenletéhezfejsze2 + bx + c= 0, a megoldásokat a következő képlet adja meg:
x = \ frac {−b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Vegye figyelembe, hogy a zárójelben lévő ± jel azt jelenti, hogy mindig két megoldás létezik. Az egyik megoldás felhasználja
\ frac {−b + \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
és a másik megoldás felhasználja
\ frac {−b - \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
A másodfokú képlet segítségével
Mielőtt használhatná a másodfokú képletet, meg kell győződnie arról, hogy az egyenlet standard formában van-e. Lehet, hogy nem. Néhányx2 kifejezések lehetnek az egyenlet mindkét oldalán, ezért össze kell gyűjteni azokat a jobb oldalon. Tegye ugyanezt az összes x taggal és konstanssal.
Példa: Keresse meg az egyenlet megoldásait
3x ^ 2 - 12 = 2x (x -1)
Bontsa ki a zárójeleket:
3x ^ 2 - 12 = 2x ^ 2 - 2x
2. kivonásx2 és mindkét oldalról. 2xmindkét oldalra
3x ^ 2 - 2x ^ 2 + 2x - 12 = 2x ^ 2 -2x ^ 2 -2x + 2x \\ 3x ^ 2 - 2x ^ 2 + 2x - 12 = 0 \\ x ^ 2 - 2x -12 = 0
Ez az egyenlet standard formában vanfejsze2 + bx + c= 0 ahola = 1, b= −2 ésc = 12
A másodfokú képlet az
x = \ frac {−b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Mivela = 1, b= −2 ésc= −12, ez lesz
x = \ frac {- (- 2) ± \ sqrt {(- 2) ^ 2 - 4 × 1 × (-12)}} {2 × 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {(4+ 48}} {2} \\ \, \\ x = \ frac {2 ± \ sqrt {52}} {2} \\ \, \\ x = \ frac {2 ± 7,21} {2} \\ \, \\ x = \ frac {9.21} {2} \ text {és} x = \ frac {−5.21} {2} \\ \, \\ x = 4.605 \ text {és} x = −2.605
Két másik módszer a másodfokú egyenletek megoldására
Másodfokú egyenleteket faktorolással oldhat meg. Ehhez többé-kevésbé kitalál egy pár számot, amelyek összeadva adják az állandótbés összeszorozva adja meg az állandó értéketc. Ez a módszer nehéz lehet, ha frakciókat vesznek figyelembe. és nem működne jól a fenti példánál.
A másik módszer a négyzet kitöltése. Ha van egyenlete, akkor az standard forma,fejsze2 + bx + c= 0, teddca jobb oldalon, és add hozzá a (b/2)2 mindkét oldalra. Ez lehetővé teszi a bal oldal kifejezését (x + d)2, holdállandó. Ezután megteheti mindkét oldal négyzetgyökét, és megoldhatjax. Ismét a fenti példában szereplő egyenlet könnyebben megoldható a másodfokú képlet segítségével.