Minden magasabb szintű algebrai hallgatónak meg kell tanulnia másodfokú egyenletek megoldását. Ezek egyfajta polinomiális egyenletek, amelyek 2-es hatványt tartalmaznak, de egyik sem magasabb, és általános formájúak:fejsze2 + bx + c= 0. Ezeket meg tudja oldani a másodfokú egyenlet képletének felhasználásával, faktorosítással vagy a négyzet kitöltésével.
TL; DR (túl hosszú; Nem olvastam)
Először keressen egy faktort az egyenlet megoldásához. Ha nincs egy, csak abegyüttható osztható 2-vel, töltse ki a négyzetet. Ha egyik megközelítés sem egyszerű, használja a másodfokú képletet.
Faktorizálás használata az egyenlet megoldásához
A faktoring kihasználja azt a tényt, hogy a standard másodfokú egyenlet jobb oldala nulla. Ez azt jelenti, hogy ha az egyenletet fel lehet osztani két kifejezésre zárójelben, szorozva egymással, akkor kidolgozhatja a megoldásokat azáltal, hogy azon gondolkodik, hogy mitől lenne minden zárójel nulla. Konkrét példát hozva:
x ^ 2 + 6x + 9 = 0
Hasonlítsa össze ezt a szokásos űrlappal:
ax ^ 2 + bx + c = 0
A példábana = 1, b= 6 ésc= 9. A faktorálás kihívása két szám megtalálása, amelyek összeadódva megadják a számot abfolt és szorozzuk össze, hogy a szám a helyén legyenc.
Tehát a számokat ábrázolvadése, olyan számokat keres, amelyek kielégítik:
d + e = b
Vagy ebben az esetben ab = 6:
d + e = 6
És
d × e = c
Vagy ebben az esetben ac = 9:
d × e = 9
Koncentráljon olyan számok felkutatására, amelyek a tényezőkc, majd összeadva őket, hogy megegyezzenek-eb. Ha megvan a száma, tegye őket a következő formátumba:
(x + d) (x + e)
A fenti példában mindkettődése3:
x ^ 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Ha megszorozza a zárójeleket, akkor ismét az eredeti kifejezéshez jut, és ez jó gyakorlat a faktorizáció ellenőrzésére. Futtathatja ezt a folyamatot (szorozva a zárójelek első, belső, külső, majd utolsó részét egymás után - lásd a forrásokat a részletekért), hogy fordítva lássa:
\ kezdődik {igazítva} (x + 3) (x + 3) & = (x × x) + (3 × x) + (x × 3) + (3 × 3) \\ & = x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\ & = x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ end {igazítva}
A faktoring tényszerűen ezt a folyamatot fordítva hajtja végre, de kihívást jelenthet a a másodfokú egyenlet tényezőjének helyes módja, és ez a módszer nem ideális minden másodfokú egyenlethez ok. Gyakran meg kell találnia egy tényezőt, majd ellenőriznie kell.
A probléma az, hogy a zárójelben szereplő kifejezések bármelyike nullára változik az Ön értékének kiválasztása révénx. Ha bármelyik zárójel nulla, akkor az egész egyenlet nulla, és megtaláltad a megoldást. Nézd meg az utolsó szakaszt [(x + 3) (x+ 3) = 0], és látni fogja, hogy a zárójelek csak akkor nullázódnak, hax= −3. A legtöbb esetben azonban a másodfokú egyenleteknek két megoldása van.
A faktoring még nagyobb kihívást jelent, haanem egyenlő az eggyel, de elsőre jobb az egyszerű esetekre koncentrálni.
A négyzet kitöltése az egyenlet megoldásához
A négyzet kitöltése segít olyan másodfokú egyenletek megoldásában, amelyeket nem lehet könnyen faktorizálni. Ez a módszer bármely másodfokú egyenletnél használható, de egyes egyenletek jobban megfelelnek, mint mások. A megközelítés magában foglalja a kifejezés tökéletes négyzetgé tételét és ennek megoldását. Egy általános tökéletes négyzet így bővül:
(x + d) ^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2
A kvadratikus egyenlet megoldásához a négyzet kitöltésével vegye be a kifejezést a fentiek jobb oldalán lévő formába. Először ossza fel a számot abhelyzetét 2-gyel, majd négyzetesre az eredményt. Tehát az egyenlethez:
x ^ 2 + 8x = 0
Az együtthatób= 8, tehátb÷ 2 = 4 és (b ÷ 2)2 = 16.
Add hozzá ezt mindkét oldalhoz, hogy megkapd:
x ^ 2 + 8x + 16 = 16
Vegye figyelembe, hogy ez az űrlap megfelel a tökéletes négyzet alakú formátumnak ad= 4, tehát 2d= 8 ésd2 = 16. Ez azt jelenti:
x ^ 2 + 8x + 16 = (x + 4) ^ 2
Helyezze be ezt az előző egyenletbe, hogy megkapja:
(x + 4) ^ 2 = 16
Most oldja meg a (z) egyenletetx. Vegyük mindkét oldal négyzetgyökét, hogy megkapjuk:
x + 4 = \ sqrt {16}
Mindkét oldalból vonjon le 4-et, hogy:
x = \ sqrt {16} - 4
A gyökér lehet pozitív vagy negatív, és a negatív gyökér felvétele:
x = -4 - 4 = -8
Keresse meg a másik megoldást pozitív gyökérrel:
x = 4 - 4 = 0
Ezért az egyetlen nem nulla megoldás −8. A megerősítéshez ellenőrizze ezt az eredeti kifejezéssel.
A másodfokú képlet segítségével megoldhatjuk az egyenletet
A másodfokú képlet bonyolultabbnak tűnik, mint a többi módszer, de ez a legmegbízhatóbb módszer, és bármely másodfokú egyenletnél használhatja. Az egyenlet a szokásos másodfokú egyenlet szimbólumait használja:
ax ^ 2 + bx + c = 0
És kijelenti, hogy:
x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Helyezze be a megfelelő számokat a helyükbe, és dolgozza át a megoldandó képletet, ne felejtse el kipróbálni a négyzetgyök tag kivonását és összeadását, és jegyezze fel mindkét választ. A következő példa:
x ^ 2 + 6x + 5 = 0
Neked vana = 1, b= 6 ésc= 5. Tehát a képlet megadja:
\ begin {aligned} x & = \ frac {-6 ± \ sqrt {6 ^ 2 - 4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {36 - 20} } {2} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ frac {-6 ± 4} {2} \ end {igazítva}
A pozitív jel felvétele:
\ begin {aligned} x & = \ frac {-6 + 4} {2} \\ & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {aligned}
A negatív előjel felvétele:
\ begin {aligned} x & = \ frac {-6 - 4} {2} \\ & = \ frac {-10} {2} \\ & = -5 \ end {aligned}
Melyik az egyenlet két megoldása.
Hogyan lehet meghatározni a másodfokú egyenletek megoldásának legjobb módját
Keressen egy tényezőt, mielőtt bármi mást kipróbálna. Ha észrevesz egyet, ez a másodfokú egyenlet megoldásának leggyorsabb és legegyszerűbb módja. Ne feledje, hogy két számot keres, amelyek összeadódnak abegyüttható és szorozzuk meg acegyüttható. Ennél az egyenletnél:
x ^ 2 + 5x + 6 = 0
Megfigyelheti, hogy 2 + 3 = 5 és 2 × 3 = 6, tehát:
x ^ 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
Ésx= −2 vagyx = −3.
Ha nem látja a tényezőket, ellenőrizze, hogy abegyüttható osztható 2-vel a törtek igénybevétele nélkül. Ha igen, akkor a négyzet kitöltése valószínűleg a legegyszerűbb módszer az egyenlet megoldására.
Ha egyik megközelítés sem tűnik megfelelőnek, használja a képletet. Ez tűnik a legnehezebb megközelítésnek, de ha vizsgán van, vagy más módon nyomja az időt, az sokkal kevésbé stresszes és sokkal gyorsabbá teheti a folyamatot.