Bernoulli elve: Definíció, egyenlet, példák

Hogyan repülnek a repülőgépek? Miért követ egy görbe gömb ilyen furcsa utat? És miért kell beszállni akívülablakaiból vihar idején? A válaszok ezekre a kérdésekre ugyanazok: Bernoulli elvének következményei.

Bernoulli elve, amelyet néha Bernoulli-effektusnak is neveznek, az egyik legfontosabb eredmény a folyadékdinamika vizsgálatában, a folyadékáramlás sebességének a folyadéknyomással való összefüggésében. Ez nem tűnhet különösebben fontosnak, de amint azt a jelenségek hatalmas skálája mutatja, amelyeknek a magyarázatát segíti, az egyszerű szabály sokat elárulhat a rendszer viselkedéséről. A folyadékdinamika a mozgó folyadék tanulmányozása, ezért van értelme, hogy az elv és a vele járó egyenlet (Bernoulli-egyenlet) meglehetősen rendszeresen kerül elő a terepen.

Az elv megismerése, az azt leíró egyenlet és Bernoulli működésének néhány példája felkészít sok problémára, amelyekkel a folyadékdinamikában találkozhat.

Bernoulli alapelve

Bernoulli elve Daniel Bernoulli, az azt kidolgozó svájci fizikus és matematikus nevéhez fűződik. Az elv a folyadék nyomását kapcsolja sebességével és magasságával, és az energia megőrzésével magyarázható. Röviden, azt állítja, hogy ha egy folyadék sebessége növekszik, akkor vagy a statikus nyomásának csökkennie kell a kompenzáláshoz, vagy a potenciális energiának csökkennie kell.

Az energia megőrzésével való kapcsolat ebből egyértelmű: vagy a további sebesség a potenciálból származik energia (vagyis a helyzete folytán birtokában lévő energia) vagy a belső nyomásból eredő belső energia folyadék.

A Bernoulli-elv tehát megmagyarázza a folyadékáramlás fő okait, amelyeket a fizikusoknak figyelembe kell venniük a folyadékdinamikában. Vagy a folyadék a magasság következtében áramlik (tehát megváltozik a potenciális energiája), vagy a nyomás miatt áramlik különbségek a folyadék különböző részeiben (tehát a nagy energiájú, nagyobb nyomású zónában lévő folyadékok az alacsony nyomás felé mozognak zóna). Az elv nagyon hatékony eszköz, mert egyesíti a folyadék mozgásának okait.

Az elvből azonban a legfontosabb, hogy a gyorsabban áramló folyadéknak alacsonyabb a nyomása. Ha erre emlékszel, levonhatod az elv legfontosabb tanulságait, és ez önmagában is elég sok jelenség magyarázatához, beleértve a bevezető bekezdésben szereplő hármat is.

Bernoulli egyenlete

A Bernoulli-egyenlet világosabb, számszerűsíthetőbb fogalmakba helyezi a Bernoulli-elvet. Az egyenlet szerint:

P + \ frac {1} {2} \ rho v ^ 2 + \ rho gh = \ text {konstans}

IttPa nyomás,ρa folyadék sűrűsége,va folyadék sebessége,ga gravitáció miatti gyorsulás ésha magasság vagy a mélység. Az egyenlet első tagja egyszerűen a nyomás, a második tag a kinetikus energiája folyadék egységnyi térfogatra, a harmadik kifejezés pedig az egység térfogatára eső gravitációs potenciális energia folyadék. Mindez egyenlő egy konstanssal, így láthatja, hogy ha egyszerre megvan az értéke, később pedig később idő alatt beállíthatja, hogy a kettő egyenlő legyen egymással, ami hatékony eszköznek bizonyul a folyadékdinamika megoldásában problémák:

P_1 + \ frac {1} {2} \ rho v_1 ^ 2 + \ rho gh_1 = P_2 + \ frac {1} {2} \ rho v_2 ^ 2 + \ rho gh_2

Fontos azonban megjegyezni a Bernoulli-egyenlet korlátjait. Különösen azt feltételezi, hogy van áramvonal az 1. és 2. pont között (az előfizetők által címkézett részek), folyamatos az áramlás, nincs áramlási súrlódás (a folyadék belsejében, a folyadék és a cső oldalai közötti viszkozitás miatt), és hogy a folyadék állandó sűrűség. Ez általában nem így van, de a lassú folyadékáramláshoz, amely lamináris áramlásnak írható le, az egyenlet közelítései megfelelőek.

Bernoulli elvének - egy szűk keresztmetszetű cső alkalmazásai

Bernoulli elvének leggyakoribb példája egy vízszintes csövön átfolyó folyadék, amely középen keskenyedik, majd ismét kinyílik. Ezt Bernoulli elvével könnyű kivitelezni, de ennek kidolgozásához a folytonossági egyenletet is fel kell használnia, amely kimondja:

ρA_1v_1 = ρA_2v_2

Ez ugyanazokat a kifejezéseket használja, aA, amely a cső keresztmetszeti területét jelenti, és mivel a sűrűség mindkét ponton egyenlő, ezeket a kifejezéseket e számítás során figyelmen kívül lehet hagyni. Először rendezze át a folytonossági egyenletet, hogy kifejezze a sebességet a szűkített részben:

v_2 = \ frac {A_1v_1} {A_2}

Ezt aztán be lehet illeszteni Bernoulli egyenletébe, hogy megoldja a cső kisebb szakaszában lévő nyomást:

P_1 + \ frac {1} {2} \ rho v_1 ^ 2 + \ rho gh_1 = P_2 + \ frac {1} {2} \ rho v_2 ^ 2 + \ rho gh_2 \\ P_1 + \ frac {1} {2 } \ rho v_1 ^ 2 + \ rho gh_1 = P_2 + \ frac {1} {2} \ rho \ bigg (\ frac {A_1v_1} {A_2} \ bigg) ^ 2 + \ rho gh_2

Ez újrarendezhetőP2megjegyezve, hogy ebben az esetbenh1 = ​h2, és így mindkét oldalon a harmadik kifejezés törlődik.

P_2 = P_1 + \ frac {1} {2} \ rho \ bigg (v_1 ^ 2 - \ bigg (\ frac {A_1v_1} {A_2} \ bigg) ^ 2 \ bigg)

A víz sűrűségét 4 Celsius fokon használva,ρ= 1000 kg / m3, az értékeP1 = 100 kPa, a kezdeti sebességv1 = 1,5 m / s, és területeiA1 = 5.3 × 10−4 m2 ésA2 = 2.65 × 10−4 m2. Ez:

\ begin {aligned} P_2 & = 10 ^ 5 \ text {Pa} + \ frac {1} {2} × 1000 \ text {kg / m} ^ 3 \ bigg ((1,5 \ text {m / s}) ^ 2 - \ bigg (\ frac {5,3 × 10 ^ {- 4} \ text {m} ^ 2 × 1,5 \ text {m / s}} {2,65 × 10 ^ {- 4} \ text {m} ^ 2} \ bigg) ^ 2 \ bigg) \\ & = 9,66 × 10 ^ 4 \ szöveg {Pa} \ end {igazítva}

Amint azt Bernoulli elve megjósolta, a nyomás csökken, ha a szűkülő csőből megnő a sebesség. A folyamat másik részének kiszámítása alapvetően ugyanazt jelenti, kivéve fordítva. Technikailag lesz némi veszteség a szűkítés során, de egy egyszerűsített rendszer esetében, ahol nem kell figyelembe venni a viszkozitást, ez elfogadható eredmény.

Egyéb példák Bernoulli elvére

Néhány más példa Bernoulli működésének elvére segíthet a fogalmak tisztázásában. A legismertebb az a példa, amely az aerodinamikából és a repülőgép szárnyainak kialakításából vagy a szárnyakból származik (bár vannak kisebb nézeteltérések a részletekről).

A repülőgép szárnyának felső része ívelt, míg az alja sík, és mivel a légáram a szárny a másik felé egyenlő időtartamok alatt, ez alacsonyabb nyomáshoz vezet a szárny tetején, mint az alján szárny. A kísérő nyomáskülönbség (Bernoulli elve szerint) létrehozza azt az emelőerőt, amely megadja a sík emelését és segíti a talajról való leszállást.

A vízerőművek a Bernoulli-elvtől is függenek, hogy működjenek-e, a kétféle módon. Először is, egy vízerőmű-gátban a tározóból származó víz néhány nagy csövön keresztül halad, amelyeket tollaknak neveznek, mielőtt a végén egy turbinát ütne. Bernoulli egyenletét tekintve a gravitációs potenciál energia csökken, amikor a víz lefelé halad a csövön, de sok esetben a víz aazonossebesség. Az egyenlet szerint egyértelmű, hogy az egyenlet kiegyensúlyozásához nyomásváltozásnak kellett lennie, sőt, ez a típusú turbina az energiáját a folyadékban lévő nyomás energiájából veszi.

Vitathatatlanul egy egyszerűbb típusú turbina megértése impulzusturbinának hívható. Ez úgy működik, hogy csökkenti a cső méretét a turbina előtt (fúvóka segítségével), ami megnöveli a a víz sebessége (a folytonossági egyenlet szerint) és csökkenti a nyomást (Bernoulli által) elv). Az energiaátadás ebben az esetben a víz mozgási energiájából származik.

Teachs.ru
  • Ossza meg
instagram viewer