Óriási a különbség a klasszikus mechanika és a kvantummechanika között. Míg a klasszikus mechanikában a részecskéknek és tárgyaknak egyértelműen meghatározott pozíciójuk van, addig a kvantummechanikában (a mérést megelőzően) a a részecskéről csak azt lehet mondani, hogy van egy sor lehetséges pozíciója, amelyeket a hullám valószínűségei szerint ír le funkció.
A Schrodinger-egyenlet meghatározza a kvantummechanikai rendszerek hullámfüggvényét, ennek használatának és értelmezésének megtanulása a kvantummechanika bármely kurzusának fontos része. Az egyenlet megoldásának egyik legegyszerűbb példája a dobozban lévő részecske.
A hullám funkció
A kvantummechanikában egy részecskét ahullámfüggvény. Ezt általában a görög psi (Ψ), és mind a pozíciótól, mind az időtől függ, és mindent tartalmaz, ami a részecskéről ismert.
Ennek a függvénynek a négyzetben megadott modulusa megmondja annak valószínűségét, hogy a részecske megtalálható a helyzetbenxidőbent, feltéve, hogy a funkció „normalizált”. Ez csak annyit jelent, hogy úgy kell beállítani, hogy biztosan megtalálja
néhánypozícióxakkortamikor az összes helyszínen összesítik az eredményeket, vagyis a normalizálási feltétel azt mondja, hogy:\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
A hullámfüggvény segítségével kiszámíthatja a részecske helyzetének várható értékétt, ahol a várakozási érték csak azt az átlagos értéket jelenti, amelyért megkapnáxha sokszor megismételte a mérést. Természetesen ez nem jelenti azt, hogy ez lesz az eredmény, amelyet bármely adott mérésnél megkapna - vagyishatékonyanvéletlenszerű, bár egyes helyek általában lényegesen valószínűbbek, mint mások.
Számos más mennyiség is kiszámítható az elvárási értékekhez, például a lendület és az energiaértékek, valamint sok más „megfigyelhető” érték.
Schrodinger-egyenlet
A Schrodinger-egyenlet egy differenciálegyenlet, amelyet arra használnak, hogy megtalálják a hullámfüggvény értékét és a sajátállapotokat a részecske energiájához. Az egyenlet levezethető az energia megőrzéséből, valamint egy részecske kinetikus és potenciális energiájának kifejezéséből. A legegyszerűbb módja annak megírásának:
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ részlegesΨ} {\ részleges t}
De ittHképviseli aHamiltoni operátor, ami önmagában meglehetősen hosszú kifejezés:
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ részleges ^ 2} {\ részleges x ^ 2} + V (x)
Itt,ma tömeg, ℏ Planck állandója osztva 2π-vel, ésV (x) a rendszer potenciális energiájának általános funkciója. A hamiltoniánusnak két külön része van - az első tag a rendszer mozgási energiája, a második pedig a potenciális energia.
A kvantummechanikában minden megfigyelhető érték operátorral van társítva, és a Schrodinger-egyenlet időfüggetlen változatában a Hamilton-féle energia-operátor. A fent bemutatott időfüggő változatban azonban a Hamilton-féle generálja a hullámfüggvény időbeli alakulását is.
Az egyenletben szereplő összes információ egyesítésével leírhatja a részecske térbeli és időbeli alakulását, és megjósolhatja a lehetséges energiaértékeket is.
Az időtől független Schrodinger-egyenlet
Az egyenlet időfüggő része eltávolítható - leírva egy olyan helyzetet, amely nem változik jelentősen az idővel - a hullámfüggvény térbeli és időbeli részekre osztásával:Ψ(x, t) = Ψ(x) f(t). Ezután az időfüggő részeket ki lehet törölni az egyenletből, így a Schrodinger-egyenlet időfüggetlen változata megmarad:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
Ea rendszer energiája. Ennek pontosan megvan a sajátérték-egyenletének formájaΨ(x) saját funkció, ésEa sajátérték, ezért az időfüggetlen egyenletet gyakran kvantummechanikai rendszer energiájának sajátérték-egyenletének nevezik. Az időfüggvényt egyszerűen megadja:
f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}
Az időfüggetlen egyenlet azért hasznos, mert egyszerűsíti a számításokat sok olyan helyzetben, ahol az idő alakulása nem különösebben döntő fontosságú. Ez a leghasznosabb forma a „részecske egy dobozban” problémák megoldására, és még az atom körüli elektronok energiaszintjének meghatározására is.
Részecske egy dobozban (végtelen négyzetkút)
Az időfüggetlen Schrodinger-egyenlet egyik legegyszerűbb megoldása az, ha egy részecske egy végtelen mély négyszögű kút (vagyis egy végtelen potenciálú kút), vagy egydimenziós alapdoboz hosszL. Természetesen ezek elméleti idealizációk, de alapgondolatot ad arról, hogyan oldja meg a Schrodinger-egyenletet anélkül, hogy figyelembe venné a természetben fennálló számos bonyodalmat.
Ha a potenciálenergiát 0-ra állítjuk azon a kúton kívül, ahol a valószínűségi sűrűség szintén 0, akkor a helyzet Schrodinger-egyenlete:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
És ennek a formának az egyenletére az általános megoldás a következő:
Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
A peremfeltételek vizsgálata azonban ezt szűkítheti. Mertx= 0 ésx= L, azaz a doboz oldalai vagy a kút falai, a hullámfüggvénynek nullára kell mennie. A koszinusz-függvény értéke 1, ha az argumentum 0, tehát a peremfeltételek teljesüléséhez az állandóBnulla kell, hogy legyen. Így marad:
Ψ (x) = A \ sin (kx)
A határfeltételekkel értéket is beállíthatk. Mivel a sin függvény nullára megy az értékekennπ, ahol kvantumszámn= 0, 1, 2, 3… és így tovább, ez azt jelenti, hogy mikorx = L, az egyenlet csak akkor fog működni, hak = nπ / L. Végül használhatja azt a tényt, hogy a hullámfüggvényt normalizálni kell a értékének megtalálásáhozA(integrálni az összes lehetséges módonxértékek, azaz 0-tól 0-igL, majd állítsa az eredményt 1-re és rendezze újra), hogy elérje a végső kifejezést:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
Az eredeti egyenlet és ennek az eredménynek a segítségével megoldhatja a következőt:E, ami:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}
Vegye figyelembe, hogy az a tény, hogynvan ebben a kifejezésben azt jelenti, hogy az energiaszintek vannakszámszerűsítve, tehát nem tudják elvenniBármiértéket, de csak a részecskék tömegétől és a doboz hosszától függően a meghatározott energiaszint-értékek diszkrét halmazát.
Részecske egy dobozban (véges négyzetkút)
Ugyanez a probléma kissé bonyolultabbá válik, ha a potenciális kút véges magassága van. Például, ha a potenciálV (x) veszi az értéketV0 a potenciálkutakon kívül és azon belül 0, a hullámfüggvény meghatározható a probléma által érintett három fő régióban. Ez azonban egy jobban érintett folyamat, így itt csak az eredményeket láthatja, nem pedig az egész folyamatot.
Ha a kút vanx= 0 - igx = Lmegint arra a régióra, aholx<0 a megoldás:
Ψ (x) = Be ^ {kx}
A régió számárax > L, ez:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
Hol
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
A kút belsejében lévő régióra, ahol 0 <x < L, az általános megoldás a következő:
Ψ (x) = C \ sin (wx) + D \ cos (wx)
Hol
w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
Ezután a határfeltételekkel meghatározhatja az állandók értékeitA, B, CésDmegjegyezve, hogy amellett, hogy a kút falain meghatározott értékek vannak, a hullámfüggvénynek és annak első deriváltjának mindenhol folyamatosnak kell lennie, és a hullámfüggvénynek végesnek kell lennie mindenhol.
Más esetekben, például sekély dobozokban, keskeny dobozokban és sok más speciális helyzetben, közelítéseket és különböző megoldásokat találhat.