Két skaláris mennyiség szorzata skalár, és egy vektorral ellátott skalár szorzata vektor, de mi a helyzet két vektor szorzatával? Skalár, vagy más vektor? A válasz az, hogy lehet akár!
A vektortermék felvételének két módja van. Az egyik a ponttermékük felvétele, amely skalárt eredményez, a másik pedig a kereszttermékük felvétele, amely egy másik vektort eredményez. Az, hogy melyik terméket használják, az adott forgatókönyvtől és attól függ, hogy milyen mennyiséget próbál megtalálni.
Két vektor keresztterméke egy harmadik vektort eredményez, amely a merőleges irányba mutat a két vektor által lefedett sík, amelynek nagysága a kettő relatív merőlegességétől függ vektorok.
A vektorok kereszttermékének meghatározása
Először meghatározzuk az egységvektorok kereszttermékétén, jésk(1 nagyságrendű vektorok, amelyek ax-, y-ész- a derékszögű derékszögű koordinátarendszer komponensirányai) az alábbiak szerint:
\ bold {i \ times j} = \ bold {k} \\ \ bold {j \ times k} = \ bold {i} \\ \ bold {k \ times i} = \ bold {j} \\ \ bold {i \ times i} = \ bold {j \ times j} = \ bold {k \ times k} = 0
Ne feledje, hogy ezek a kapcsolatok antikommutatívak, vagyis ha megváltoztatjuk a vektorok sorrendjét, amelyeknek a szorzatát vesszük, akkor megfordítja a szorzat jelét:
\ bold {j \ times i} = - \ bold {k} \\ \ bold {k \ times j} = - \ bold {i} \\ \ bold {i \ times k} = - \ bold {j}
A fenti definíciók segítségével két háromdimenziós vektor kereszttermékének képletét vezethetjük le. Először írjon vektorokataésbalábbiak szerint:
\ bold {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
A két vektor szorzása:
\ bold {a \ times b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ times (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ félkövér {k}) \\ = a_xb_x \ bold {i \ times i} + a_xb_y \ bold {i \ times j} + a_xb_z \ bold {i \ times k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ szorzat i} + a_zb_y \ félkövér {k \ idők j} + a_zb_z \ bold {k \ times k}
Ezután a fenti egységvektor-kapcsolatok segítségével ez egyszerűsödik:
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ bold {k \ times i} - a_zb_y \ bold {j \ times k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {i \ times j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {k \ times i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ bold {j \ times k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ bold { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {k}
(Vegye figyelembe, hogy azok a kifejezések, amelyek keresztprodukciója 0 volt, azok a ponttermékeket alkotják (amelyeket skaláris szorzatnak is nevezünk)!Ez nem véletlen.)
Más szavakkal:
\ bold {a \ times b} = \ bold {c} = (c_x, c_y, c_z) \ text {ahol} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
A kereszttermék nagysága a Pitagorasz-tétel segítségével határozható meg.
A kereszttermék képlete a következő mátrix meghatározójaként is kifejezhető:
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ begin {mátrix} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {mátrix} \ Bigg | \\ = \ Nagy | \ kezdődik {mátrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {mátrix} \ Nagy | \ félkövér {i} - \ Nagy | \ kezdet {mátrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ vég {mátrix} \ Nagy | \ vastag {j} + \ Nagy | \ elej {mátrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ vég {mátrix} \ nagy | \ félkövér {k}
\ text {Ahol a determináns} \ Nagy | \ kezdődik {mátrix} a & b \\ c & d \ vége {mátrix} \ Nagy | = ad - bc
A kereszttermék másik, gyakran nagyon kényelmes megfogalmazása (lásd a cikk végén a deriválást):
\ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ bold {n}
Hol:
- |a| a vektor nagysága (hossza)a
- |b| a vektor nagysága (hossza)b
- θ a szög aés b
- naz által lefedett síkra merőleges egységvektor aésb
Merőleges vektorok és a jobb oldali szabály
A kereszttermék leírásában megállapítottuk, hogy a kereszttermék iránya merőleges a vektor által lefedett síkraaés vektorb. De ez két lehetőséget hagy: Lehet, hogy rámutatkívüla repülőgép vagy-baaz a vektorok által lefedett sík. A valóság az, hogy valójában bármelyiket választhatjuk, amíg következetesek vagyunk. A matematikusok és a tudósok által egyaránt kedvelt irányt azonban meghatározza az úgynevezettjobbkezes szabály.
A vektorkereszt irányának meghatározásához a jobb oldali szabály használatával mutasson a jobb kéz mutatóujjával a vektor irányába.aa középső ujjad pedig a vektor irányábab. Ezután a hüvelykujjad a kereszttermék vektor irányába mutat.
Néha ezeket az utasításokat nehéz ábrázolni egy lapos papíron, ezért gyakran a következő konvenciókat kötik:
Az oldalra kerülő vektor jelzésére kört rajzolunk, benne X-szel (gondoljuk ezt úgy, hogy a nyíl végén lévő faroktollakat képviselik, ahogy hátulról nézzük). Annak a vektornak a jelzésére, amely ellentétes irányba megy ki az oldalból, rajzolunk egy kört, benne egy ponttal (gondoljunk erre úgy, mint a nyíl hegyére, amely az oldalról mutat ki).
•••na
A kereszttermék tulajdonságai
Az alábbiakban felsoroljuk a vektor kereszttermék több tulajdonságát:
\ # \ szöveg {1. Ha a} \ bold {a} \ text {és} \ bold {b} \ text {párhuzamos, akkor} \ bold {a \ times b} = 0
\ # \ szöveg {2. } \ bold {a \ times b} = - \ bold {b \ times a}
\ # \ szöveg {3. } \ bold {a \ times (b + c)} = \ bold {a \ times b} + \ bold {a \ times c}
\ # \ szöveg {4. } (c \ bold {a) \ times b} = c (\ bold {a \ times b})
\ # \ szöveg {5. } \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ bold {(a \ times b) \ cdot c}
\ text {Where} \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ Bigg | \ begin {mátrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {mátrix } \ Bigg |
A kereszttermék geometriai értelmezése
Amikor a vektor kereszttermékét bűn (θ) alapján fogalmazzuk meg, akkor annak nagysága úgy értelmezhető, hogy az a két vektor által lefedett paralelogramma területét reprezentálja. Ez azért van, merta × b, |b| sin (θ) = a paralelogramma magassága, az ábra szerint, és |a| az alapja.
•••Dana Chen | Tudományosság
A vektor hármas szorzatának nagyságaa (b × c) viszont úgy értelmezhető, mint a vektorok által átívelett párhuzamos szárú térfogataa, bésc. Ez azért van, mert(b × c) olyan vektort ad, amelynek nagysága a vektor által lefedett területbés vektorc, és amelynek iránya merőleges az adott területre. A vektor pont szorzatának felvételeaezzel az eredménnyel lényegében megsokszorozza az alapterületet a magasság szorzatával.
Példák
1. példa:A töltés egy részecskéjére ható erőqsebességgel haladvavmágneses mezőbenBáltal adva:
\ bold {F} = q \ bold {v \ szorzat B}
Tegyük fel, hogy egy elektron 0,005 T mágneses téren halad át 2 × 10 sebességgel7 Kisasszony. Ha merőlegesen halad át a mezőn, akkor a következő erőt fogja érezni:
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B} = qvB \ sin (\ theta) \ bold {n} = (-1,602 \ x 10 ^ {19}) (2 \ szor 10 ^ 7) (0,005 ) \ sin (90) \ bold {n} = -1.602 \ szor 10 ^ {- 14} \ text {N} \ bold {n}
Ha azonban az elektron párhuzamosan halad a mezővel, akkor θ = 0, és sin (0) = 0, így az erő 0.
Vegye figyelembe, hogy a mezőn merőlegesen áthaladó elektron esetén ez az erő körkörös mozgást fog okozni. Ennek a körútnak a sugarát úgy találhatjuk meg, hogy a mágneses erőt megegyezzük a centripetális erővel, és megoldjuk a sugarat.r:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ implicit r = \ frac {mv} {qB}
A fenti példa esetében a számok bedugása körülbelül 0,0227 m sugarat eredményez.
2. példa:A fizikai mennyiségi nyomaték kiszámítása egy vektor kereszttermék felhasználásával is történik. Ha egy erőFhelyzetben lévő tárgyra alkalmazzákraz elfordulási ponttól a nyomatékτaz elfordulási pontról:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F}
Vizsgáljuk meg azt a helyzetet, amikor egy 7 N erőt szögben fejtünk ki egy 0,75 rúd végével, amelynek másik vége egy csuklóhoz kapcsolódik. Közötti szögrésF70 fok, így a nyomaték kiszámítható:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F} = rF \ sin (\ theta) = (0.75) (7) \ sin (70) \ bold {n} = 4.93 \ text {Nm} \ bold { n}
A nyomaték iránya,n, a jobb oldali szabályon keresztül található. Ha a fenti képre alkalmazzuk, ez irányt ad az oldalról vagy a képernyőről. Általánosságban elmondható, hogy az objektumra alkalmazott nyomaték el akarja váltani az objektum forgását. A nyomatékvektor mindig ugyanabban az irányban fekszik, mint a forgástengely.
Valójában egy egyszerűsített jobbkezes szabály használható ebben a helyzetben: Használja a jobb kezét a forgástengely "megragadásához" oly módon, hogy az ujjai a hozzá tartozó nyomatékkal görbüljenek az objektum elfordulásához. A hüvelykujjad ekkor a nyomatékvektor irányába mutat.
Kereszttermék-képlet levezetése
\ text {Itt megmutatjuk, hogy a kereszttermék képlete} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ bold {n} \ text {levezethető.}
Tekintsünk két vektortaésbszöggelθközöttük. Egy derékszögű háromszöget úgy lehet kialakítani, hogy egy vonalat húzunk a vektor hegyébőlaa vektor merőleges érintkezési pontjárab.
A Pitagorasz-tétel segítségével a következő összefüggést kapjuk:
\ Nagy | \ Nagy (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ Big | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2
\ text {ahol} \ nagy (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ nagy) \ bold {b} \ text {a vektor vetülete} \ bold {a} \ text {onto vector} \ bold {b}.
Kicsit egyszerűsítve a kifejezést, a következőket kapjuk:
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold { a} | ^ 2
Ezután szorozza meg az egyenlet mindkét oldalát | -velb|2 és mozgassa az első kifejezést a jobb oldalra, hogy:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold { a \ cdot b} | ^ 2
A jobb oldali munkával mindent szaporítson, majd egyszerűsítsen:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z_z) 2 (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ bold {a \ times b} | ^ 2
Ha az eredményt megegyezzük az előző egyenlet bal oldalán, akkor a következő összefüggést kapjuk:
| \ bold {a \ times b} | = | \ bold {a} || \ bold {b} || \ sin (\ theta) |
Ez azt mutatja, hogy a képletben a nagyságrendek megegyeznek, ezért a képlet igazolásának utolsó tennivalója annak megmutatása, hogy az irányok is megegyeznek. Ez egyszerűen megtehető a pontok szorzatávalaval vela × bésbval vela × bés 0 értékük megmutatása, ami azt jelenti, hogy aa × b merőleges mindkettőre.