A Schrodinger-egyenlet a kvantummechanika legalapvetőbb egyenlete, és ennek a használatának megismerése és mit jelent elengedhetetlen minden kezdő fizikus számára. Az egyenletet Erwin Schrödingerről nevezik el, aki 1933-ban Paul Diracszel együtt Nobel-díjat nyert a kvantumfizikához való hozzájárulásukért.
Schrodinger egyenlete egy kvantummechanikai rendszer hullámfüggvényét írja le, amely megadja valószínűségi információk a részecske és más megfigyelhető mennyiségek, például annak helyéről lendület. A legfontosabb dolog, amit rájössz a kvantummechanikára az egyenlet megismerése után, hogy a kvantumtartomány törvényeinagyon eltérőa klasszikus mechanikaétól.
A hullám funkció
A hullámfüggvény az egyik legfontosabb fogalom a kvantummechanikában, mert minden részecskét hullámfüggvény képvisel. Általában a görög psi betűt (Ψ), és ez a pozíciótól és az időtől függ. Ha van egy kifejezés egy részecske hullámfüggvényére, akkor az mindent elmond, amiről tudni lehet a fizikai rendszer, és a megfigyelhető mennyiségek különböző értékei úgy érhetők el, ha egy operátort alkalmaznak a azt.
A hullámfüggvény modulusának négyzete megmondja annak valószínűségét, hogy a részecskét egy helyzetben megtaláljaxadott időpontbant. Ez csak akkor áll fenn, ha a függvény „normalizált”, ami azt jelenti, hogy a négyzet modulusának az összes lehetséges helyre eső összegének 1-nek kell lennie, vagyis a részecskebizonyoshogy megtaláljákvalahol.
Vegye figyelembe, hogy a hullámfüggvény csak valószínűségi információkat szolgáltat, és így nem tudja megjósolni egyetlen megfigyelés eredményét, bár Öntudmeghatározza az átlagot sok mérés során.
A hullámfüggvény segítségével kiszámíthatja a„Várakozási érték”a részecske pillanatnyi helyzetéhezt, az elvárt érték axakkor kapná meg, ha sokszor ismételné meg a mérést.
Ez megint nem mond semmit egy adott mérésről. Valójában a hullámfüggvény inkább egy részecske valószínűségeloszlása, mint bármi konkrét és megbízható. A megfelelő operátor használatával várakozási értékeket is kaphat a lendületre, az energiára és más megfigyelhető mennyiségekre.
A Schrodinger-egyenlet
A Schrodinger-egyenlet lineáris parciális differenciálegyenlet, amely leírja a kvantumállapot a klasszikus Newton-törvényekhez (különösen a második törvényhez) hasonló módon mechanika.
A Schrodinger-egyenlet azonban a kérdéses részecske hullámfüggvényének hullámegyenlete, ezért az egyenlet felhasználása a jövő állapotának előrejelzésére a rendszer működését néha „hullámmechanikának” nevezik. Maga az egyenlet az energiatakarékosságból származik, és egy operátor köré épül Hamiltonian.
A Schrodinger-egyenlet leírásának legegyszerűbb formája:
H Ψ = iℏ \ frac {\ részlegesΨ} {\ részleges t}
Ahol ℏ a redukált Planck-állandó (vagyis az állandó elosztva 2π-vel) ésHa hamiltoni operátor, amely megfelel a kvantumrendszer potenciális energiájának és mozgási energiájának (teljes energiájának) összegének. A hamiltoni azonban maga is meglehetősen hosszú kifejezés, így a teljes egyenlet így írható:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ részleges ^ 2 Ψ} {\ részleges x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ részlegesΨ} {\ részleges t}
Megjegyezve, hogy néha (kifejezetten háromdimenziós problémák esetén) az első parciális derivált laplaciai operátorként íródik ∇2. Lényegében a hamilton-i a hullámfüggvényre hat, hogy leírja annak térbeli és időbeli fejlődését. De az egyenlet időfüggetlen változatában (vagyis amikor a rendszer nem attól függt), a Hamilton-féle adja a rendszer energiáját.
A Schrodinger-egyenlet megoldása akvantummechanikai hullámfüggvényhogy egy adott helyzetben kielégíti.
Az időfüggő Schrodinger-egyenlet
Az időfüggő Schrodinger-egyenlet az előző szakasz verziója, amely leírja a hullámfüggvény evolúcióját egy részecske számára időben és térben. Egyszerű megfontolandó eset a szabad részecske, mert a potenciális energiaV= 0, és az oldat síkhullám formájában jelenik meg. Ezeknek a megoldásoknak a formája:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
Holk = 2π / λ, λa hullámhossz, ésω = E / ℏ.
Más helyzetekben az eredeti egyenlet potenciális energia része leírja a a hullámfüggvény térbeli része, és gyakran idő-evolúciós függvényre és időfüggetlenné válik egyenlet.
Az időtől független Schrodinger-egyenlet
Statikus helyzetek vagy állóhullámokat alkotó megoldások (például a potenciális kút, a „részecske egy dobozban” stílusú megoldások) esetén a hullámfüggvényt idő és tér részekre bonthatja:
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
Ha ezt teljes egészében átéled, az időszak törölhető, így a Schrodinger-egyenlet egy formája megmaradcsaka részecske helyzetétől függ. Az időfüggetlen hullámfüggvényt ezután adja meg:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
IttEa kvantummechanikai rendszer energiája, ésHa hamiltoni operátor. Az egyenletnek ez a formája a sajátérték-egyenlet pontos alakját öleli fel, a hullámfüggvénnyel együtt a sajátfunkció és az energia a sajátérték, amikor a hamiltoni operátort alkalmazzuk hozzá. Bővítve a Hamilton-szót egy kifejezettebb formába, teljes egészében a következőképpen írhatjuk:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ részleges ^ 2 Ψ} {\ részleges x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
Az egyenlet időtartamát a függvény tartalmazza:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
Megoldások az időtől független Schrodinger-egyenlethez
Az időfüggetlen Schrodinger-egyenlet jól alkalmazható meglehetősen egyszerű megoldásokra, mert levágja az egyenlet teljes alakját. Tökéletes példa erre a „részecske egy dobozban” megoldáscsoport, ahol feltételezzük, hogy a részecske egy dimenzióban végtelen négyzet alakú kútban van, tehát nulla potenciál van (azazV= 0), és nincs esély arra, hogy a részecske a kúton kívül megtalálható legyen.
Van egy véges négyzet alakú kút is, ahol a kút „falainál” rejlő potenciál nem végtelen, és még akkor is, ha nagyobb a részecske energiájánál,néhánya részecske azon kívüli megtalálásának lehetősége a kvantumalagút miatt. A végtelen kút esetében a megoldások a következők:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
HolLa kút hossza.
A delta függvénypotenciál nagyon hasonló fogalom a potenciál kúthoz, kivéve a szélességetLnulla lesz (vagyis végtelenül kicsi egy pont körül) és a kút mélysége a végtelenbe megy, míg a kettő szorzata (U0) állandó marad. Ebben a nagyon idealizált helyzetben csak egy kötött állapot van:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
Energiával:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Hidrogénatom-megoldás a Schrodinger-egyenlethez
Végül a hidrogénatom-megoldás nyilvánvalóan alkalmazható a valós fizikai fizikában, de a gyakorlatban a helyzet mert a hidrogénatom magja körüli elektron meglehetősen hasonlónak tekinthető a potenciális kúthoz problémák. A helyzet azonban háromdimenziós, és legjobban gömbkoordinátákban írható ler, θ, ϕ. A megoldást ebben az esetben a következők adják:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
HolPa Legendre polinomok,Rspecifikus radiális megoldások, ésNegy állandó, amelyet annak a ténynek a segítségével rögzít, hogy a hullámfüggvényt normalizálni kell. Az egyenlet az alábbiak által megadott energiaszinteket adja:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
HolZitt van az atomszám (tehátZ= 1 hidrogénatom esetén),eebben az esetben az elektron töltése (nem pedig az állandóe = 2.7182818...), ϵ0 a szabad tér permittivitása, ésμa redukált tömeg, amely a proton és az elektron hidrogénatomban lévő tömegén alapul. Ez a kifejezés minden hidrogénszerű atomra jó, minden olyan helyzetet jelent (ideértve az ionokat is), ahol egy elektron a központi mag körül kering.