A matematikában radikális bármely olyan szám, amely tartalmazza a gyökérjelet (√). A gyökérjel alatt szereplő szám négyzetgyök, ha a gyökérjel előtt nincs felső index, a kocka gyökér egy felső index 3 előtte (3√), egy negyedik gyök, ha egy 4 megelőzi (4√) és így tovább. Számos gyököt nem lehet leegyszerűsíteni, ezért az osztás egy speciális algebrai technikát igényel. Használatukhoz ne feledje ezeket az algebrai egyenleteket:
\ sqrt {\ frac {a} {b}} = \ frac {\ sqrt {a}} {\ sqrt {b}}
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b}
Numerikus négyzetgyök a nevezőben
Általánosságban elmondható, hogy egy olyan szám, amelynek négyzetgyöke van a nevezőben, így néz ki:
\ frac {a} {\ sqrt {b}}
Ennek a frakciónak a leegyszerűsítése érdekében racionalizálja a nevezőt úgy, hogy megszorozza a teljes frakciót √-velb/√b.
Mivel
\ sqrt {b} × \ sqrt {b} = \ sqrt {b ^ 2} = b
a kifejezés válik
\ frac {a \ sqrt {b}} {b}
Példák:
1. Racionalizálja a tört nevezőjét
\ frac {5} {\ sqrt {6}}
Megoldás:Szorozzuk a frakciót √6 / √6-mal
\ frac {5 \ sqrt {6}} {\ sqrt {6} \ sqrt {6}} \\ \, \\ \ frac {5 \ sqrt {6}} {6} \ text {vagy} \ frac {5 } {6} × \ sqrt {6}
2. Egyszerűsítse a törtet
\ frac {6 \ sqrt {32}} {3 \ sqrt {8}}
Megoldás:Ebben az esetben egyszerűsítheti, ha a radikális előjelen kívüli és a benne lévő számokat két külön művelettel osztja fel:
\ frac {6} {3} = 2 \\ \, \\ \ frac {\ sqrt {32}} {\ sqrt {8}} = \ sqrt {4} = 2
A kifejezés erre redukálódik
2 × 2 = 4
Osztás kocka gyökerekkel
Ugyanez az általános eljárás alkalmazandó, ha a nevezőben lévő gyök kocka, negyedik vagy magasabb gyök. A nevező kocka gyökérrel történő racionalizálásához meg kell keresni egy olyan számot, amely a gyökös jel alatti számmal megszorozva egy harmadik kivehető hatványszámot eredményez. Általában racionalizálja a számot
\ frac {a} {\ sqrt [3] {b}} \ text {szorozva} \ frac {\ sqrt [3] {b ^ 2}} {\ sqrt [3] {b ^ 2}}
Példa:
1. Racionalizálni
\ frac {5} {\ sqrt [3] {5}}
Szorozza a számlálót és a nevezőt 3√25.
\ frac {5 × \ sqrt [3] {25}} {\ sqrt [3] {5} × \ sqrt [3] {25}} \\ \, \\ = \ frac {5 \ sqrt [3] { 25}} {\ sqrt [3] {125}} \\ \, \\ = \ frac {5 \ sqrt [3] {25}} {5}
A radikális előjelen kívül eső számok törlődnek, és a válasz az
\ sqrt [3] {25}
Két nevű változó a nevezőben
Ha a nevezőben lévő gyökök két kifejezést tartalmaznak, akkor általában egyszerűsítheti úgy, hogy megszorozza a konjugátumával. A konjugátum ugyanazt a két kifejezést tartalmazza, de a jelet megfordítja közöttük. Például a
x + y \ text {is} x - y
Amikor ezeket együtt megszorozzuk, megkapjuk
x ^ 2 - y ^ 2
Példa:
1. Racionalizálja a nevezőjét
\ frac {4} {x + \ sqrt {3}}
Megoldás: Szorozzuk meg a tetejét és az alját x - √3-mal
\ frac {4 (x - \ sqrt {3})} {(x + \ sqrt {3}) (x - \ sqrt {3})}
Egyszerűsítse:
\ frac {4x - 4 \ sqrt {3}} {x ^ 2 - 3}