A sokszög bármely zárt kétdimenziós ábra, amelynek három vagy több egyenes (nem ívelt) oldala van, és egy 12 oldalú sokszög dodekagon ismert. A szabályos dodecagon egyenlő oldalú és szögű, és lehet egy képletet levezetni a területének kiszámításához. A szabálytalan dodecagonnak különböző hosszúságú és szögű oldalai vannak. Példa erre egy hatágú csillag. A szabálytalan 12 oldalas ábra területének kiszámításához nincs egyszerű módszer, hacsak nem véletlenül ábrázolja azt egy grafikonon, és el tudja olvasni az egyes csúcsok koordinátáit. Ha nem, akkor a legjobb stratégia az ábra rendes alakzatokra osztása, amelyekhez kiszámíthatja a területet.
Egy szabályos 12 oldalas sokszög területének kiszámítása
A szabályos dodecagon területének kiszámításához meg kell találni a középpontját, és erre a legjobb módszer az, ha körülír egy kört, amely csak érinti az egyes csúcsait. A kör középpontja a dodecagon közepe, és az ábra közepétől az egyes csúcspontokig terjedő távolság egyszerűen a kör sugara (r). Az ábra 12 oldalának mindegyike azonos hosszúságú, ezért jelölje ezt a -vals.
Szüksége van még egy mérésre, és ez egy merőleges vonal hossza, amelyet mindkét oldal felezőpontjától a 12 oldalas alak közepéig húznak. Ez a vonal apothem néven ismert. Jelölje a hosszátm. A sugárvonalak által alkotott szakaszokat két derékszögű háromszögre osztja. Nem tudodm, de megtalálja a Pitagorasz-tétel segítségével.
A 12 sugarú vonal felosztja a kört, amelyet a dodekagon körül írt, 12 egyenlő szakaszra, így az ábra közepén az egyes vonalak által a mellette lévőkkel szög 30 fok. A sugárvonalak által alkotott 12 szakasz mindegyike egy pár derékszögű háromszögből áll, hipotenusszalrés egy 15 fokos szög. A szöggel szomszédos oldal azm, így megtalálja r és a szög szinuszával.
\ sin (15) = \ frac {m} {r} \, \ text {és megoldani} m \\ m = r × \ sin (15)
Mostantól megtalálhatja a dodekagon beírt mindegyik egyenlő szárú háromszög területét, mert tudja az alap hosszát - amis- és a magasság,m. Az egyes háromszögek területe:
\ begin {aligned} \ text {area} & = \ frac {1} {2} × \ text {base} × \ text {height} \\ & = \ frac {1} {2} × s × m \\ & = 1/2 × (s × r × \ sin (15)) \ end {igazítva}
12 ilyen szakasz van, így szorozva 12-vel, hogy megtalálja a szabályos 12 oldalas alak teljes területét:
\ text {A szabályos dodecagon területe} = 6 × (s × r × \ sin (15))
Szabálytalan Dodecagon területének megkeresése
Nincs egy képlet a szabálytalan dodecagon területének megkeresésére, mivel az oldalak és a szögek hossza nem azonos. Még nehéz meghatározni a középpontot. A legjobb stratégia az ábra rendes alakzatokra osztása, mindegyik területének kiszámítása és összeadása.
Ha az alakzatot grafikonon ábrázoljuk, és ismeri a csúcsok koordinátáit, akkor van egy képlet, amellyel kiszámíthatja a területet. Ha minden egyes pont (n) a (xn, yn), és körbejárja az ábrát úgy, hogy az óramutató járásával megegyező vagy az óramutató járásával ellentétes irányban 12 pontból álló sorozatot kapjon, a terület:
\ text {Terület} = \ frac {| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) +... + (x_ {11} y_ {12} - y_ {11} x_ {12}) + (x_ {12} y_1 - y_ {12} x_1) |} {2}
