Képzelje el, hogy ágyút állít elő, és célja egy ellenséges kastély falainak lerombolása, hogy serege behatolhasson és győzelmet szerezzen. Ha tudod, milyen gyorsan halad a labda, amikor elhagyja az ágyút, és tudod, milyen messze vannak a falak, milyen indítási szögben kell lőni az ágyút, hogy sikeresen eltalálja a falakat?
Ez egy példa a lövedék mozgási problémájára, és ezt és sok hasonló problémát meg lehet oldani a kinematika állandó gyorsulási egyenleteinek és néhány alapvető algebra használatával.
Lövedék mozgásaa fizikusok hogyan írják le a kétdimenziós mozgást, ahol a kérdéses tárgy egyetlen gyorsulása a gravitáció miatti állandó lefelé történő gyorsulás.
A Föld felszínén az állandó gyorsulásaegyenlőg= 9,8 m / s2, és egy lövedékmozgás alatt álló objektum vanszabadesésezzel, mint a gyorsulás egyetlen forrásával. A legtöbb esetben a parabola útját fogja megtenni, így a mozgásnak lesz vízszintes és függőleges összetevője is. Bár a való életben (korlátozott) hatása lenne, szerencsére a középiskolai fizika lövedékmozgási problémáinak többsége figyelmen kívül hagyja a légellenállás hatását.
A lövedék mozgási problémáit meg tudja oldani agés néhány más alapvető információ a jelenlegi helyzetről, például a lövedék kezdeti sebességéről és az irányról, amelyben halad. E problémák megoldásának elsajátítása elengedhetetlen a legtöbb bevezető fizika óra eljutásához, és megismerteti Önt a legfontosabb fogalmakkal és technikákkal, amelyekre a későbbi tanfolyamokon is szüksége lesz.
Lövedék mozgási egyenletei
A lövedékmozgás egyenletei a kinematika állandó gyorsulási egyenletei, mert a gravitáció gyorsulása az egyetlen gyorsulási forrás, amelyet figyelembe kell vennie. A lövedékmozgással kapcsolatos problémák megoldásához a négy fő egyenlet a következő:
v = v_0 + \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} at ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2as
Itt,va sebességet jelenti,v0 a kezdeti sebesség,agyorsulás (amely megegyezik a. lefelé irányuló gyorsulásával)gminden lövedékmozgási problémában),saz elmozdulás (a kezdeti helyzetből), és mint mindig van időd,t.
Ezek az egyenletek technikailag csak egy dimenzióra vonatkoznak, és valójában vektoros mennyiségekkel (a sebességet is beleértve) lehetne ábrázolniv, kezdeti sebességv0 és így tovább), de a gyakorlatban ezeket a verziókat csak külön használhatja, egyszer ax-direction és egyszer ay-direction (és ha valaha is volt háromdimenziós problémád, akkor az-irányítás is).
Fontos megjegyezni, hogy ezek vannakcsak állandó gyorsításhoz használják, ami tökéletesen alkalmas azoknak a helyzeteknek a leírására, ahol a gravitáció hatása csak az egyetlen gyorsulás, de alkalmatlan sok valós helyzetben, ahol további erőkre van szükség figyelembe vett.
Alapvető helyzetekre csak erre van szükség, hogy leírja az objektum mozgását, de ha szükséges, beépíthet másokat is olyan tényezők, mint például a lövedék magassága, vagy akár meg is oldja a lövedék legmagasabb pontjára pálya.
Lövedék mozgási problémáinak megoldása
Most, hogy látta a lövedék mozgásképletének négy verzióját, amelyet használni kell megoldani a problémákat, elkezdhet gondolkodni azon a stratégián, amelyet a lövedék mozgásának megoldására használ probléma.
Az alapvető megközelítés a probléma két részre osztása: egy a vízszintes mozgásra és egy a függőleges mozgásra. Ezt technikailag vízszintes és függőleges komponensnek hívják, és mindegyiknek megfelelő halmaza van mennyiségek, például a vízszintes sebesség, a függőleges sebesség, a vízszintes elmozdulás, a függőleges elmozdulás és a hamar.
Ezzel a megközelítéssel használhatja a kinematikai egyenleteket, megjegyezve azt az időtta vízszintes és a függőleges komponenseknél is megegyezik, de az olyan dolgok, mint a kezdeti sebesség, különböző komponensekkel rendelkeznek a kezdeti függőleges sebesség és a kezdeti vízszintes sebesség szempontjából.
A legfontosabb dolog, amit meg kell érteni, hogy a kétdimenziós mozgáshozBármia mozgás szöge vízszintes és függőleges komponensre bontható, de mikor ezt megteszi, a kérdéses egyenletnek lesz egy vízszintes változata és egy függőleges változat.
A légellenállás hatásainak elhanyagolása jelentősen leegyszerűsíti a lövedék mozgási problémáit, mert a vízszintes iránynak soha nincsenek gyorsulás lövedékmozgás (szabad esés) problémában, mivel a gravitáció hatása csak függőlegesen (azaz a Föld).
Ez azt jelenti, hogy a vízszintes sebességkomponens csak állandó sebesség, és a mozgás csak akkor áll le, ha a gravitáció a lövedéket a talajszintre hozza. Ezt lehet használni a repülés idejének meghatározásához, mert ez teljes mértékben a repülőtértől függyirányú mozgás, és teljes egészében a függőleges elmozdulás (vagyis az idő alapján) kidolgozhatótamikor a függőleges elmozdulás nulla, megadja a repülés idejét).
Trigonometria a lövedék mozgási problémáiban
Ha a kérdéses probléma indítási szöget és kezdeti sebességet ad, akkor trigonometria segítségével meg kell találnia a vízszintes és függőleges sebességkomponenseket. Miután ezt megtette, használhatja az előző szakaszban felvázolt módszereket a probléma tényleges megoldására.
Lényegében derékszögű háromszöget hoz létre, amelynek hipotenusa az indítási szögben hajlik (θ) és a sebesség nagysága, mint hossz, majd a szomszédos oldal a sebesség vízszintes összetevője, az ellenkező oldal pedig a függőleges sebesség.
Rajzolja meg a derékszögű háromszöget az utasításoknak megfelelően, és látni fogja, hogy a vízszintes és függőleges komponenseket a trigonometrikus azonosságok segítségével találja meg:
\ text {cos} \; θ = \ frac {\ text {szomszédos}} {\ text {hipotenusz}}
\ text {bűn} \; θ = \ frac {\ text {szemben}} {\ text {hipotenusz}}
Tehát ezek újrarendezhetők (és ellentétes = -elvy és szomszédos =vxazaz a függőleges sebességkomponens és a vízszintes sebességkomponensek, illetve a hipotenusz =v0, a kezdeti sebesség), hogy:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 bűn (θ)
Ez az összes trigonometria, amelyet meg kell tennie a lövedék mozgási problémáinak kezeléséhez: az indítási szög bedugása a egyenlet, a számológép szinusz- és koszinuszfüggvényeinek felhasználásával és az eredmény megszorzásával a kezdősebességgel lövedék.
Tehát, hogy átmegyek erre egy példán, 20 m / s kezdeti sebességgel és 60 fokos indítási szöggel, az alkatrészek a következők:
\ begin {aligned} v_x & = 20 \; \ text {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ text {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ text {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17.32 \; \ text {m / s} \ end {igazítva}
Példa lövedék mozgási problémájára: robbanó tűzijáték
Képzeljük el, hogy egy tűzijátéknak olyan biztosítéka van, amely úgy van kialakítva, hogy a pályája legmagasabb pontján felrobban, és 60 m / s kezdeti sebességgel, vízszinteshez képest 70 fokos szögben indul.
Milyen magassággal dolgozna kihrobbant fel? És mi lenne az idő az indítástól, amikor felrobban?
Ez egy a sok probléma közül, amelyek a lövedék maximális magasságával járnak, és ezek megoldásának trükkje az, hogy a legnagyobb magasságban ayA sebesség komponense egy pillanatra 0 m / s. Ezt az értéket csatlakoztatva avy és a kinematikai egyenletek közül a legmegfelelőbbet választva könnyedén kezelheti ezt és minden hasonló problémát.
Először a kinematikai egyenleteket nézve ez ugrik (előfizetőkkel hozzáadva, hogy megmutassuk, hogy függőleges irányban dolgozunk):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
Ez az egyenlet ideális, mert már ismeri a gyorsulást (ay = -g), a kezdeti sebesség és az indítási szög (így meghatározhatja a függőleges komponenstvy0). Mivel az értékét keressüksy (vagyis a magasságh) mikorvy = 0, a végleges függőleges sebesség komponenst nullával helyettesíthetjük és újrarendezhetjüksy:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
Mivel van értelme felhívni a felfelé irányuló irányty, és mivel a gravitáció miatti gyorsulásglefelé irányul (vagyis a -yirány), megváltoztathatjukay mert -g. Végül hívássy a magasságh, tudunk írni:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
Tehát az egyetlen dolog, amit ki kell dolgoznia a probléma megoldására, a kezdeti sebesség függőleges összetevője, amelyet az előző szakasz trigonometrikus megközelítésével tehet meg. Tehát a kérdésben szereplő információkkal (60 m / s és 70 fok a vízszintes indításig) ez a következőket adja:
\ eleje {igazítva} v_ {0y} & = 60 \; \ szöveg {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56.38 \; \ szöveg {m / s} \ vége {igazítva}
Most megoldhatja a maximális magasságot:
\ begin {aligned} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56.38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9.8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162.19 \ text {m} \ end {igazítva}
Tehát a tűzijáték nagyjából 162 méterre robbant fel a talajtól.
A példa folytatása: Repülési idő és megtett távolság
Miután a lövedék mozgási problémájának alapjait tisztán a függőleges mozgás alapján oldotta meg, a probléma fennmaradó része könnyen megoldható. Először is, az indítás óta eltelt idő, amikor a biztosíték felrobban, megtalálható a többi állandó gyorsulási egyenlet egyikének felhasználásával. A lehetőségeket tekintve a következő kifejezés:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
van idejet, amit tudni akarsz; az elmozdulás, amelyet a repülés maximális pontjára ismer; a kezdeti függőleges sebesség; és a sebesség a legnagyobb magasság idején (amelyről tudjuk, hogy nulla). Tehát ez alapján az egyenlet átrendezhető úgy, hogy kifejezést adjon a repülés idejére:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
Tehát beszúrja az értékeket és megoldja atad:
\ begin {aligned} t & = \ frac {2 × 162.19 \; \ text {m}} {56.38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5.75 \; \ text {s} \ end {igazítva}
Tehát a tűzijáték 5,75 másodperccel felrobban az indítás után.
Végül könnyen meghatározhatja a megtett vízszintes távolságot az első egyenlet alapján, amely (vízszintes irányban) kijelenti:
v_x = v_ {0x} + a_xt
Megjegyezve azonban, hogy a gyorsulásban nincs gyorsulásx-direction, ez egyszerűen:
v_x = v_ {0x}
Ez azt jelenti, hogy a sebesség axa tűzijáték útja során ugyanaz az irány. Tekintettel arrav = d/t, holda megtett távolság, ezt könnyű belátnid = vt, és így ebben az esetben (asx = d):
s_x = v_ {0x} t
Tehát pótolhatjav0x a korábbi trigonometrikus kifejezéssel adja meg az értékeket és oldja meg:
\ begin {aligned} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ text {m / s} × \ cos (70) × 5.75 \; \ text {s} \\ & = 118 \; \ text {m} \ end {igazítva}
Tehát a robbanás előtt 118 métert megkerül.
További lövedékmozgási probléma: A Dud tűzijáték
Ha további problémát szeretne megoldani, képzelje el a tűzijátékot az előző példából (elindított 60 m / s kezdeti sebesség) a vízszinteshez képest 70 fokban) nem robbant fel a parabola csúcsán, és ehelyett a földre száll fel nem robbant. Kiszámíthatja ebben az esetben a teljes repülési időt? Milyen messze lesz az indítóhelytől vízszintes irányban, vagy más szavakkal, mi azhatótávolsága lövedék?
Ez a probléma alapvetően ugyanúgy működik, ahol a sebesség és az elmozdulás függőleges komponensei vannak a fő dolgokat, amelyeket figyelembe kell venni a repülés idejének meghatározásához, és ebből meghatározhatja a hatótávolság. Ahelyett, hogy részletesen kidolgozná a megoldást, az előző példa alapján maga is megoldhatja ezt.
Vannak képletek a lövedék tartományához, amelyeket megnézhet vagy levezethet az állandó gyorsulási egyenletekből, de ez nem nagyon szükséges, mert már tudja a lövedék maximális magasságát, és ettől kezdve csak szabad esésben van a hatása gravitáció.
Ez azt jelenti, hogy meghatározhatja, hogy a tűzijáték mennyi idő alatt esik vissza a földre, majd ezt hozzáadva a repülés idejéhez a maximális magasságig a teljes repülési idő meghatározásához. Ettől kezdve ugyanaz a folyamat, amikor az állandó sebességet vízszintes irányban a repülés ideje mellett használják a tartomány meghatározásához.
Mutassa meg, hogy a repülés ideje 11,5 másodperc, a hatótávolság pedig 236 m, figyelembe véve, hogy erre szüksége lesz számítsa ki a sebesség függőleges összetevőjét abban a pontban, amely közbensőnek érinti a talajt lépés.