A mindennapi életben a legtöbb ember használja a kifejezéseketsebességéssebességfelcserélhető módon, de a fizikusok számára két nagyon különböző mennyiségi példát mutatnak be.
A mechanikai problémák a tárgyak mozgásával foglalkoznak, és bár csak leírhatja a mozgást a sebesség szempontjából, gyakran kritikus fontosságú az a konkrét irány, ahová valami halad.
Hasonlóképpen, a tárgyakra ható erők sokféle irányból származhatnak - gondoljunk például a kötélhúzás ellentétes húzására - tehát az ehhez hasonló helyzeteket leíró fizikusoknak olyan mennyiségeket kell használniuk, amelyek leírják az olyan dolgok „méretét”, mint az erők, és azt az irányt, amelybe azok törvény. Ezeket a mennyiségeket hívjukvektorok.
TL; DR (túl hosszú; Nem olvastam)
A vektornak mind nagysága, mind meghatározott iránya van, de a skaláris mennyiségnek csak nagysága van.
Vektorok vs. Skalárok
A vektorok és a skalárok közötti legfontosabb különbség az, hogy egy vektor nagysága nem írja le teljesen; meg kell adni egy meghatározott irányt is.
A vektor irányát számos módon lehet megadni, akár előtte lévő pozitív, akár negatív előjelekkel, komponensek formájában kifejezve (skaláris értékek a megfelelő mellettén, jésk„Egységvektor”, amelyek megfelelnek a derékszögű derékszögű koordinátáknakx, yész, ill. hozzáadva egy szöget egy megadott irányhoz (pl. „60 fok ax-tengely ”) vagy egyszerűen hozzáad néhány szót az irány leírására (pl.„ északnyugat ”).
Ezzel szemben a skalár csak a vektor nagysága minden további jelölés vagy információ nélkül - például a sebesség a sebességvektor skaláris egyenértéke. Matematikai szempontból ez a vektor abszolút értéke.
Számos mennyiség, például energia, nyomás, hossz, tömeg, teljesítmény és hőmérséklet például a skalárok példája, amelyek nem csak a megfelelő vektor nagysága. Nem kell tudni például a tömeg „irányát”, hogy teljes képet kapjon róla, mint fizikai tulajdonságról.
Van néhány ellentmondó tény, amelyet megérthet, ha ismeri a skalár közötti különbséget és egy vektor, például az az elképzelés, hogy valaminek lehet állandó sebessége, de folyamatosan változik sebesség. Képzelje el, hogy egy autó 10 km / h állandó sebességgel, de körben halad. Mivel a vektor iránya része a definíciójának, az autó sebességvektora mindig az ebben a példában változik, annak ellenére, hogy a vektor nagysága (vagyis sebessége) állandó.
Példák vektormennyiségekre
A vektorban számos példa található a fizikában, de a legismertebb példák közül az erő, a lendület, a gyorsulás és a sebesség, amelyek mindegyike erősen szerepel a klasszikus fizikában. A sebességvektor keletre 25 m / s, −8 km / h sebességgel jeleníthető megy-irány,v= 5 m / sén+ 10 m / sj, vagy 10 m / s 50 fokos iránybanx-tengely.
A lendületvektorok egy másik példa, amellyel megnézheti, hogyan jelenik meg a vektor nagysága és iránya a fizikában. Ezek ugyanúgy működnek, mint a sebességvektor-példák, 50 kg m / s-rel nyugatra, −12 km / h-val azirány,o= 12 kg m / sén- 10 kg m / sj- 15 kg m / skés 100 kg m / s 30 foktól ax-tengelyek példák arra, hogy miként jeleníthetők meg. Ugyanezek az alappontok vonatkoznak a gyorsulási vektorok megjelenítésére, az egyetlen különbség az m / s mértékegysége2 és a vektor általánosan használt szimbóluma,a.
Az erő a vektorkifejezések ezen példáinak utolsó példája, és bár sok hasonlóság van, hengeres koordináták (r, θ, z) a derékszögű koordináták helyett más megjelenítési módok segíthetnek. Például írhat egy erőtF= 10 Nr+ 35 N𝛉, sugárirányú és azimutális irányú komponensekkel rendelkező erő esetén, vagy írja le a gravitációs erőt a Föld 1 kg-os tárgyán 10 N-ra a -rirány (vagyis a bolygó közepe felé).
Vektor jelölés az ábrákon
Diagramokban a vektorokat nyilak segítségével jelenítik meg, a vektor nagyságát a nyíl hossza, az irányát pedig a nyíl iránya. Például egy nagyobb nyíl azt mutatja, hogy egy erő nagyobb (azaz több newton vagy nagyobb nagyságú), mint egy másik erő.
A mozgást mutató vektor, például a lendület vagy a sebességvektor esetében anulla vektor(azaz a sebességet és a lendületet nem ábrázoló vektor) egyetlen ponttal jelenik meg.
Érdemes megjegyezni, hogy mivel a nyíl hossza a vektor nagyságát, iránya pedig a vektor irányát jelöli. Hasznos megpróbálni ésszerűen pontos lenni egy vektordiagram készítésekor. Nem feltétlenül kell tökéletesnek lennie, de ha a vektorakétszer akkora, mint a vektorb, a nyílnak nagyjából kétszer olyan hosszúnak kell lennie.
Vektor összeadás és kivonás
A vektor összeadása és a vektor kivonása valamivel bonyolultabb, mint a skalárok összeadása és kivonása, de a fogalmakat könnyedén felveheti. Két fő megközelítést használhat, és mindegyiknek van potenciális felhasználási lehetősége az Ön által megoldott problémától függően.
Az első és a legkönnyebben használható, ha két vektort kaptál komponens formában, ha egyszerűen hozzáadsz egyező komponenseket ugyanúgy, mint a közönséges skalárokat. Például, ha hozzá kell adnia a két erőtF1 = 5 Nén+ 10 NjésF2 = 6 Nén+ 15 Nj+ 10 Nk, hozzáadná aénalkatrészek, majd ajalkatrészek és végül akalkatrészek az alábbiak szerint:
\ begin {igazítva} \ bm {F} _1 + \ bm {F} _2 & = (5 \; \ text {N} \; \ bold {i} + 10 \; \ text {N} \; \ bold { j}) + (6 \; \ text {N} \; \ bold {i} + 15 \; \ text {N} \; \ bold {j} + 10 \; \ text {N} \; \ bold { k}) \\ & = (5 \; \ szöveg {N} + 6 \; \ text {N}) \ bold {i} + (10 \; \ text {N} + 15 \; \ text {N}) \ bold {j} + (0 \; \ text {N} + 10 \; \ text {N}) \ bold {k} \\ & = 11 \; \ text {N} \; \ bold {i} + 25 \; \ text {N} \; \ bold {j} + 10 \; \ text {N} \; \ bold {k} \ end {igazítva}
A vektor kivonás pontosan ugyanúgy működik, csak Ön kivonja a mennyiségeket, nem pedig összeadja őket. A vektor összeadás szintén kommutatív, mint például a valós számokkal való közönséges összeadás, teháta + b = b + a.
A vektor hozzáadását nyíldiagramok segítségével is elvégezheti úgy, hogy a vektor nyilakat a farkáig fekteti új vektornyíl rajzolása az első nyíl farkát a fejével összekötő vektorok összegéhez második.
Ha van egy egyszerű vektorösszeadás, az egyik ax-direction és egy másik ay-direction, a diagram derékszögű háromszöget képez. Befejezheti a vektor hozzáadását, és meghatározhatja a kapott vektor nagyságát és irányát a háromszög „megoldásával” a trigonometria és a Pythagoras-tétel segítségével.
A Dot és Cross termék
A vektorok szorzása valamivel bonyolultabb, mint a valós számok skaláris szorzása, de a szorzás két fő formája a pont szorzat és a kereszt szorzat. A pontterméket skaláris szorzatnak nevezzük, és a következőképpen definiáljuk:
\ bm {u} \; ∙ \; \ bm {v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3
vagy
\ bm {u} \; ∙ \; \ bm {v} = \ lvert \ bm {u} \ rvert \ lvert \ bm {v} \ rvert \ text {cos} (θ)
holθa két vektor közötti szög, és az 1., 2. és 3. előfizető a vektor első, második és harmadik komponensét jelenti. A dot szorzat eredménye egy skalár.
A kereszttermék meghatározása:
\ bm {a} \; \ bold {×} \; \ bm {b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
vesszővel elválasztva az eredmény összetevőit különböző irányokba.