Avektorolyan mennyiség, amelyhez nagysága és iránya egyaránt társul. Ez más, mint askalárismennyiség, amely csak egy nagyságrendnek felel meg. A sebesség a vektormennyiség példája. Van mind a nagysága (milyen gyorsan megy valami), mind az iránya (az az irány, amellyel halad).
A vektorokat gyakran nyilakként rajzolják ki. A nyíl hossza megegyezik a vektor nagyságával, és a nyíl pontja jelzi az irányt.
Kétféle módon lehet dolgozni a vektor összeadásával és kivonásával. Az első grafikusan, a vektorok nyíldiagramjainak manipulálásával. A második matematikailag, amely pontos eredményeket ad.
Grafikus vektor összeadás és kivonás egy dimenzióban
Két vektor hozzáadásakor a második vektor farkát az első vektor hegyéhez helyezi, miközben a vektor orientációja megmarad. Aeredő vektoregy olyan vektor, amely az első vektor farkánál kezdődik, és egyenes vonalban mutat a második vektor csúcsáig.
Fontolja meg például a vektorok hozzáadásátAésBamelyek egy vonal mentén ugyanabba az irányba mutatnak. Helyezzük őket „hegytől a farokig” és a kapott vektorot
C, ugyanabba az irányba mutat, és hossza megegyezik aAésB.A vektorok kivonása egy dimenzióban lényegében megegyezik a hozzáadással, azzal a különbséggel, hogy a második vektort „megfordítja”. Ez közvetlenül abból adódik, hogy a kivonás megegyezik a negatív hozzáadásával.
Matematikai vektor összeadás és kivonás egy dimenzióban
Ha egy dimenzióban dolgozik, akkor a vektor irányát előjelekkel jelezhetjük. Az egyik irányt választjuk a pozitív iránynak (általában a „felfelé” vagy a „jobbra” választjuk pozitívnak), és az adott irányba mutató vektorokat pozitív mennyiségként rendeljük hozzá. Bármely negatív irányba mutató vektor negatív mennyiség. Vektorok összeadásakor vagy kivonásakor adjuk hozzá vagy vonjuk ki azok nagyságát a megfelelő jelekkel.
Tegyük fel, hogy az előző szakaszban vektorAnagysága 3 és vektor voltB5-ös nagyságrendű volt. Ezután eredmény vektorC = A + B =A 8. ábrán a pozitív irányba mutató 8. nagyságrendű vektort és az eredményül kapott vektort mutatjuk beD = A - B =-2, a 2. nagyságrendű vektor negatív irányba mutat. Vegye figyelembe, hogy ez összhangban van az előző grafikai eredményeivel.
Tipp: Vigyázzon, hogy csak azonos típusú vektorokat adjon hozzá: sebesség + sebesség, erő + erő és így tovább. Mint minden fizika matematikában, az egységeknek is meg kell egyezniük!
Grafikus vektor összeadás és kivonás két dimenzióban
Ha az első és a második vektor nem ugyanazon a vonalon helyezkedik el a derékszögű térben, akkor ugyanazt a „tip to tail” módszert használhatja azok hozzáadásához vagy kivonásához. Két vektor hozzáadásához egyszerűen képzelje el, hogy megemeli a másodikat, és farkát az első csúcsához helyezi, miközben megtartja az ábra szerinti tájolását. A kapott vektor egy nyíl, amely az első vektor farkánál kezdődik és a második vektor hegyénél végződik:
Csakúgy, mint az egyik dimenzióban, az egyik vektor kivonása a másikból egyenértékű az átfordítással és az összeadással. Grafikusan ez a következőképpen néz ki:
•••Dana Chen | Tudományosság
Megjegyzés: A vektorösszeadást néha grafikusan mutatjuk be, ha a két összeadódó vektor farkát összerakjuk és egy paralelogrammát hozunk létre. A kapott vektor ekkor ennek a paralelogrammának az átlója.
Matematikai vektor összeadás és kivonás két dimenzióban
Matematikailag két dimenzióban lévő vektorok hozzáadásához és kivonásához kövesse az alábbi lépéseket:
Minden vektor bontása an-váx-komponens, néha vízszintes komponensnek hívják, és ay-komponens, amelyet néha függőleges komponensnek is neveznek, trigonometria segítségével. (Vegye figyelembe, hogy az elemek lehetnek negatívak vagy pozitívak, attól függően, hogy a vektor melyik irányba mutat)
Add hozzá ax-vektor komponenseit együtt, majd adjuk hozzá ay-komponensei mindkét vektornak együtt. Ez az eredmény megadja axésya kapott vektor komponensei.
Az eredményül kapott vektor nagysága a Pitagorasz-tétel segítségével határozható meg.
A kapott vektor iránya trigonometria útján található meg az inverz tangens függvény segítségével. Ezt az irányt általában a pozitívhoz viszonyított szögként adják megx-tengely.
Trigonometria a vektor addícióban
Idézzük fel a derékszögű háromszög oldalai és szögei közötti összefüggéseket a trigonometria alapján.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ text {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ text {} \\ \ tan (\ theta) = \ frac {b} {a}
Pitagorasz tétel:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
A lövedékmozgás klasszikus példákat mutat be arra, hogyan használhatjuk ezeket a kapcsolatokat egy vektor lebontására, valamint a vektor végső nagyságának és irányának meghatározására.
Tekintsünk két embert, akik fogást játszanak. Tegyük fel, hogy azt mondják, hogy a labdát 1,3 m magasságból dobják 16 m / s sebességgel, 50 fokos szögben a vízszintessel. A probléma elemzésének megkezdéséhez le kell bontania ezt a kezdeti sebességvektortxésyalkatrészek az alábbiak szerint:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ alkalommal \ cos (50) = 10,3 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ alkalommal \ sin (50) = 12,3 \ szöveg {m / s}
Ha az elkapó elmulasztja a labdát, és földet ér, akkor milyen végsebességgel éri el?
Kinematikai egyenletek segítségével megállapíthatjuk, hogy a gömb sebességének végső összetevői:
v_ {xf} = 10,3 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = - 13,3 \ text {m / s}
A Pitagorasz-tétel lehetővé teszi számunkra, hogy megtaláljuk a nagyságát:
v_ {f} = \ sqrt {(10.3) ^ 2 + (-13.3) ^ 2} = 16.8 \ text {m / s}
A trigonometria lehetővé teszi számunkra a szög meghatározását:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Nagy (\ frac {-13.3} {10.3} \ Nagy) = - 52,2 \ fok
Vektor összeadási és kivonási példa
Vegyünk egy kanyart egy kanyarban. Tegyük felvénmert az autó ax-10 m / s nagyságú irány, ésvf45 fokos szögben van a pozitívvalx10 m / s nagyságú tengely. Ha ez a mozgásváltozás 3 másodpercen belül bekövetkezik, akkor mekkora és milyen irányú az autó gyorsulása menet közben?
Idézzük fel azt a gyorsulástaegy vektormennyiség, amelyet a következők szerint definiálunk:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Holvfésvéna végső és a kezdeti sebességek (és ezért vektormennyiségek is).
A vektorkülönbség kiszámításáhozvf - vén,először el kell bontanunk a kezdeti és a végső sebességvektort:
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7,07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7,07 \ text {m / s}
Ezután kivonjuk a döntőtxésykomponensek a kezdőbőlxésykomponensek a komponensek megszerzéséhezvf - vén:
Ezután kivonjuk axésyalkatrészek:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.07-10 = -2.93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7.07 -0 = 7,07 \ szöveg {m / s}
Ezután osszuk el idővel, hogy megkapjuk a gyorsulási vektor összetevőit:
a_x = \ frac {-2.93} {3} = - 0.977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7.07} {3} = 2.36 \ text {m / s} ^ 2
A Pitagorasz-tétel segítségével keresse meg a gyorsulási vektor nagyságát:
a = \ sqrt {(- 0,977) ^ 2 + (2,36) ^ 2} = 2,55 \ text {m / s} ^ 2
Végül a trigonometria segítségével keresse meg a gyorsulási vektor irányát:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Nagy (\ frac {2.36} {- 0.977} \ Nagy) = 113 \ fok