A fizikusok összehasonlítják a forgó tárgyak tehetetlenségi mozzanatait, hogy megállapítsák, melyiket lesz nehezebb gyorsítani vagy lassítani. Ez a valós helyzetekre vonatkozik, például arra, hogy kitaláljuk, mely tárgyak gurulnak a leggyorsabban egy versenyen.
Azok a tényezők, amelyek megváltoztatják az objektum tehetetlenségi nyomatékát, a tömege, annak eloszlása - alakja és sugara alapján - és az a forgástengely, amelyen forog.
A közös objektumok tehetetlenségi pillanatai
Ez a diagram a különböző forgástengelyek körül forgó, több közös alakzat tehetetlenségi pillanatának egyenleteit mutatja.
A tehetetlenségi pillanatok összehasonlítása
Íme néhány példa olyan fizikai problémákra, amelyek tehetetlenségi momentumok használatát igénylik a különféle tárgyak összehasonlításához.
1. Az alábbiak közül melyik lesz a legegyszerűbb a pörgés megkezdéséhez: 7 kg 0,2 m sugarú üreges gömb vagy 10 kg azonos sugarú tömör gömb?
Kezdje azzal, hogy megtalálja az egyes objektumok tehetetlenségi pillanatait. A táblázat szerint az aüreges gömbaz:I = 2 / 3mr2, és az a egyenleteszilárd gömbvanI = 2 / 5mr2.
A megadott tömegek és sugarak helyettesítése:
Üreges gömb: I = 2/3 (7kg) (0,2 m)2 = 0.19 kgm2
Szilárd gömb: I = 2/5 (10 kg) (0,2 m)2 = 0.16 kgm2
A tehetetlenség pillanata azkisebb a szilárd gömb számára, így lesza legkönnyebb elkezdeni forogni.
2. Milyen módon lehet a legnehezebb forgatni egy ceruzát: hosszában, középpontja körül vagy vége felett? Tegyük fel, hogy a ceruza hossza 10 cm (0,1 m) és keresztmetszeti sugara 3 mm (0,003 m).
Ebben az esetben a ceruza tömege nem számít az összehasonlításban, mivel nem változik.
Annak megállapításához, hogy mely egyenletek érvényesek, közelítse meg a ceruza mint henger alakját.
Ezután a tehetetlenségi egyenletek három szükséges momentuma:
Henger a hossza körül(a tengely az egészen átmegy, a csúcstól a radírig, tehát a sugár a forgástengelyigvankeresztmetszeti sugara):
I = \ frac {1} {2} mr ^ 2 = \ frac {1} {2} m (0,003) ^ 2 = 0,0000045m
Henger a közepén(középen tartva, tehát forgásának sugarahossza fele):
I = \ frac {1} {12} mr ^ 2 = \ frac {1} {12} m (0,05) ^ 2 = 0,0002083 m
Henger a vége körül(a csúcs vagy a radír tartja, így a sugár a forgástengelyigvanhossza):
I = \ frac {1} {3} mr ^ 2 = \ frac {1} {3} m (0,1) ^ 2 = 0,003333 m
Minél magasabb egy tárgy tehetetlenségi nyomatéka, annál nehezebb elindítani (vagy leállítani) a forgását.Mivel minden értéket megszorozzuk ugyanazzalm, annál nagyobb a törtrész értéke szorozva r-vel2, annál nagyobb lesz a tehetetlenség nyomatéka. Ebben az esetben 0,0033333> 0,0002083> 0,0000045, tehát vannehezebb egy ceruzát forgatni a vége körülmint a másik két tengely körül.
3. Melyik tárgy ér el először egy rámpa aljára, ha mindegyiknek ugyanaz a tömege és sugara, és mindet egyszerre engedik el a tetejéről: karika, henger vagy szilárd gömb? Figyelmen kívül hagyja a súrlódást.
A probléma megválaszolásának kulcsa aenergiamegmaradás. Ha az összes objektum azonos tömegű és azonos magasságból indul, akkor ugyanannak a mennyiségnek kell kezdődniegravitációs potenciális energia. Ez ateljes energiarendelkezésre állnak, hogy kinetikus energiává alakítsák át és mozogjanak a rámpán.
Mivel az objektumok lefelé gördülnek a rámpán, meg kell alakítaniuk kezdeti potenciális energiájukat mindkettővéforgási és lineáris kinetikus energiák.
Itt van a fogás: minél több energia származik abból a teljes tortából, amelyhez a tárgy eljutkezdd el forogni, annál kevesebb lesz elérhető számáraLineáris mozgás. Azt jelentiminél könnyebb egy tárgyat gördíteni, annál gyorsabban halad lineárisan lefelé a rámpán, megnyerve a versenyt.
Ezután, mivel az összes tömeg és sugár egyforma, egyszerűen összehasonlítva a tehetetlenségi egyenlet minden egyes momentuma előtti frakciókat, kiderül a válasz:
Szilárd gömb: I =2/5úr2
Hoop egy tengely körül: I = úr2
Szilárd henger a hossza mentén: I =1/2úr2
A legkisebbtől a legnagyobb tehetetlenségi pillanatig, és ígyelsőként ér el az aljára: gömb, henger, karika.