A kinematikai egyenletek egy állandó gyorsuláson áteső tárgy mozgását írják le. Ezek az egyenletek egy mozgó objektum idő, helyzet, sebesség és gyorsulás változóit kapcsolják össze, lehetővé téve ezen változók bármelyikének megoldását, ha a többiek ismertek.
Az alábbiakban egy objektumot ábrázolunk, amely állandó gyorsuláson megy keresztül egy dimenzióban. A változó t az idő, a helyzet az x, sebesség v és gyorsulás a. Az előfizetők én és f "kezdeti", illetve "végleges". Feltételezik, hogy t = 0 at xén és vén.
(1. kép beszúrása)
Kinematikai egyenletek listája
Az alábbiakban felsorolunk három elsődleges kinematikai egyenletet, amelyek egy dimenzióban dolgoznak. Ezek az egyenletek:
\ # \ text {1:} v_f = v_i + at \\ \ # \ text {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 at ^ 2 \\ \ # \ text {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)
Megjegyzések a kinematikai egyenletekről
- Ezek az egyenletek csak állandó gyorsulással működnek (amely állandó sebesség esetén nulla lehet).
- Attól függően, hogy melyik forrást olvassa el, előfordulhat, hogy a végső mennyiségeknek nincs indexe f, és / vagy a funkció jelölésében ábrázolható x (t) - olvas "x az idő függvényében ”vagy„x időben t”- és v (t). Vegye figyelembe, hogy x (t) nem jelenti azt x szorozva t!
-
Néha a mennyiség xf - xén meg van írva
Δx, vagyis „a változás x, ”Vagy akár csak egyszerűen d, ami elmozdulást jelent. Mindegyik egyenértékű. A helyzet, a sebesség és a gyorsulás vektormennyiségek, vagyis irányuk van társítva hozzájuk. Az egyik dimenzióban az irányt általában jelek jelzik - a pozitív mennyiségek a pozitív, a negatívak pedig a negatív irányúak. Előfizetések: "0" lehet használni a kezdeti pozíció és sebesség helyett én. Ez a "0" azt jelenti: "at" t = 0, "és x0 és v0 általában "x-naught" és "v-naught" kiejtésűek. * Csak az egyik egyenlet nem tartalmazza az időt. Amikor adatot ír ki és meghatározza, hogy milyen egyenletet használjon, ez kulcsfontosságú!
Különleges eset: Szabad esés
A szabadon eső mozgás egy tárgy mozgása, amely csak a gravitáció miatt gyorsul fel, légellenállás hiányában. Ugyanezek a kinematikai egyenletek érvényesek; a földfelszín közelében lévő gyorsulási érték azonban ismert. Ennek a gyorsulásnak a nagyságát gyakran az ábrázolja gahol g = 9,8 m / s2. Ennek a gyorsulásnak az iránya lefelé, a Föld felszíne felé mutat. (Ne feledje, hogy egyes források közelíthetnek g 10 m / s sebességgel2és mások használhatnak olyan értéket, amely két tizedesjegy pontossággal több.)
Kinematikai problémák problémamegoldási stratégiája egy dimenzióban:
Vázolja fel a helyzet diagramját, és válasszon megfelelő koordináta-rendszert. (Emlékezzünk vissza erre x, v és a mindegyik vektormennyiség, tehát egyértelmű pozitív irány kijelölésével könnyebb lesz nyomon követni a jeleket.)
Írjon egy listát az ismert mennyiségekről. (Vigyázzon, hogy néha az ismertek nem nyilvánvalóak. Keressen olyan kifejezéseket, mint a „pihenésből indul ki”, vagyis ez vén = 0, vagy „földet ér”, vagyis ez xf = 0, és így tovább.)
Határozza meg, hogy a kérdés melyik mennyiséget szeretné megtalálni. Mi az az ismeretlen, amire megoldod?
Válassza ki a megfelelő kinematikai egyenletet. Ez lesz az az egyenlet, amely tartalmazza az ismeretlen mennyiséget az ismert mennyiségekkel együtt.
Oldja meg az ismeretlen mennyiség egyenletét, majd csatlakoztassa az ismert értékeket, és számítsa ki a végső választ. (Vigyázzon az egységekkel! Néha a számítás előtt át kell alakítania az egységeket.)
Egydimenziós kinematikai példák
1. példa: Egy reklám azt állítja, hogy a sportautó 0, 60 mérföld / óra sebességre képes 2,7 másodperc alatt. Mekkora ennek az autónak a gyorsulása m / s-ban2? Mennyit utazik ez alatt a 2,7 másodperc alatt?
Megoldás:
(Helyezze be a 2. képet)
Ismert és ismeretlen mennyiségek:
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {? }
A kérdés első része az ismeretlen gyorsulás megoldását igényli. Itt használhatjuk az 1. egyenletet:
v_f = v_i + at \ azt jelenti, hogy a = \ frac {(v_f-v_i)} t
A számok csatlakoztatása előtt azonban 60 mph-ot kell átalakítanunk m / s-ba:
60 \ cancel {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0.477 \ text {m / s}} {\ cancel {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26.8 \ text {m / s}
Tehát a gyorsulás ekkor:
a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ aláhúzás {\ bold {9.93} \ text {m / s} ^ 2}
Annak megállapításához, hogy meddig megy ez az idő, használhatjuk a 2. egyenletet:
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 a ^ 2 = \ frac 1 2 \ 9,93-szor 2,7 ^ 2 = \ aláhúzás {\ bold {36.2} \ text {m}}
2. példa: Egy labdát 15 m / s sebességgel dobnak fel 1,5 m magasságból. Milyen gyorsan halad, amikor földet ér? Mennyi idő alatt ér földet?
Megoldás:
(3. kép beszúrása)
Ismert és ismeretlen mennyiségek:
x_i = 1,5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9,8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?
Az első rész megoldásához használhatjuk a 3. egyenletet:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \ azt jelenti, hogy v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}
Minden már egységes egységekben van, ezért be tudjuk kapcsolni az értékeket:
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9.8) (0-1.5)} = \ pm \ sqrt {254.4} \ kb \ pm16 \ text {m / s}
Kétféle megoldás létezik itt. Melyik helyes? Ábra alapján láthatjuk, hogy a végsebességnek negatívnak kell lennie. Tehát a válasz:
v_f = \ aláhúzás {\ félkövér {-16} \ text {m / s}}
Időbeli megoldáshoz használhatjuk az 1. egyenletet vagy a 2. egyenletet. Mivel az 1. egyenlettel egyszerűbb a munka, ezt fogjuk használni:
v_f = v_i + at \ implicit t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9.8} \ kb \ aláhúzás {\ bold {3.2} \ text { }}
Ne feledje, hogy a kérdés első részére a válasz nem 0 m / s volt. Bár igaz, hogy a labda leszállása után 0 sebességgel fog rendelkezni, ez a kérdés tudni akarja, milyen gyorsan halad a másodperc törtrésze előtt az ütés előtt. Amint a labda érintkezik a talajjal, kinematikai egyenleteink már nem érvényesek, mert a gyorsulás nem lesz állandó.
Kinetikai egyenletek a lövedék mozgásához (két dimenzió)
A lövedék a Föld gravitációjának hatására két dimenzióban mozgó tárgy. Útja parabola, mert az egyetlen gyorsulás a gravitációnak köszönhető. A lövedékmozgás kinematikai egyenletei kissé eltérő formát öltenek, mint a fent felsorolt kinematikai egyenletek. Azt a tényt használjuk, hogy egymásra merőleges mozgáskomponensek - például a vízszintes x irány és a függőleges y irány - függetlenek.
Problémamegoldási stratégia a lövedék mozgáskinematikai problémáihoz:
Vázolja fel a helyzet ábráját! Csakúgy, mint az egydimenziós mozgásnál, hasznos a forgatókönyv felvázolása és a koordináta-rendszer feltüntetése. A címkék használata helyett x, v és a a helyzet, a sebesség és a gyorsulás szempontjából szükségünk van arra, hogy az egyes dimenziókban külön-külön jelöljük a mozgást.
A vízszintes irányhoz a leggyakoribb a használata x pozícióért és vx a sebesség x-komponensére (vegye figyelembe, hogy a gyorsulás 0 ebben az irányban, tehát nincs szükségünk változóra.) y irányban, leggyakrabban használják y pozícióért és vy a sebesség y-komponensére. A gyorsulás felcímkézhető ay vagy használhatjuk azt a tényt, hogy tudjuk a gravitáció miatti gyorsulást g a negatív y irányban, és csak ezt használja.
Írja fel az ismert és ismeretlen mennyiségek listáját úgy, hogy a problémát két részre osztja: függőleges és vízszintes mozgásra. A trigonometria segítségével keresse meg olyan vektormennyiségek x- és y-komponenseit, amelyek nem tengely mentén fekszenek. Hasznos lehet ezt két oszlopban felsorolni:
(illessze be az 1. táblázatot)
Megjegyzés: Ha a sebességet egy szöggel együtt nagyságrendben adjuk meg, Ѳ, majd a vízszintes felett, majd használjon vektorbontást, vx= vcos (Ѳ) és vy= vsin (Ѳ).
Figyelembe vehetjük a korábbiakból származó három kinematikai egyenletünket, és illeszthetjük őket az x, illetve az y irányhoz.
X irány:
x_f = x_i + v_xt
Y irány:
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2g (y_f - y_i)
Vegye figyelembe, hogy a gyorsulás a y az irány -g, ha feltételezzük, hogy pozitív. Általános tévhit, hogy g = -9,8 m / s2, de ez helytelen; g maga egyszerűen a gyorsulás nagysága: g = 9,8 m / s2, ezért meg kell határoznunk, hogy a gyorsulás negatív.
Oldjon meg egy ismeretlent ezen dimenziók egyikében, majd csatlakoztassa azt, ami mindkét irányban közös. Míg a két dimenzió mozgása független, ugyanazon az időskálán történik, tehát az időváltozó mindkét dimenzióban megegyezik. (Az az idő, amely alatt a labda függőleges mozgása megtörténik, megegyezik a vízszintes mozgáshoz szükséges idővel.)
Lövedékmozgási kinematikai példák
1. példa: A lövedéket vízszintesen egy 20 m magas szikláról indítják 50 m / s kezdeti sebességgel. Mennyi idő alatt ér földet? Milyen messze landol a szikla tövétől?
(beszúrja a 4. képet)
Ismert és ismeretlen mennyiségek:
(illessze be a 2. táblázatot)
Megtalálhatjuk a földre éréshez szükséges időt a második függőleges mozgásegyenlet használatával:
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ implicit t = \ sqrt {\ frac {(2-szer 20-szor)} g} = \ aláhúzás {\ bold {2.02} \ text {s} }
Aztán, hogy megtalálja, hol landol, xf, használhatjuk a vízszintes mozgásegyenletet:
x_f = x_i + v_xt = 50 \ times2.02 = \ aláhúzás {\ bold {101} \ text {s}}
2. példa: Egy labdát 100 m / s sebességgel indítanak a talajszinttől 30 fokos szögben a vízszintessel. Hol landol? Mikor a legkisebb a sebessége? Mi a helye ilyenkor?
(beszúrja az 5. képet)
Ismert és ismeretlen mennyiségek:
Először a sebességvektort kell összetevőkre bontanunk:
v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ kb 86,6 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ szöveg {m / s}
A mennyiségek táblázata ekkor:
(illessze be a 3. táblázatot)
Először meg kell találnunk az időt, amikor a labda repül. Ezt megtehetjük a második függőleges egyenlettel_. Vegye figyelembe, hogy a parabola szimmetriáját használjuk annak meghatározására, hogy a végső _y a sebesség a kezdőérték negatívja:
Ezután meghatározzuk, hogy meddig mozog a x irány ebben az időben:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ x 10,2 \ kb \ kb \ aláhúzás {\ bold {883} \ text m}
A parabolikus út szimmetriáját felhasználva megállapíthatjuk, hogy a sebesség a legkisebb a 5,1 s, amikor a lövedék a mozgásának csúcsán van, és a sebesség függőleges összetevője 0. A mozgásának x- és y-komponense ekkor:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ szer 5,1 \ kb \ aláhúzás {\ bold {442} \ text m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ szor \ frac 1 2 9,8 \ alkalommal 5,1 ^ 2 \ kb \ aláhúzás {\ bold {128} \ text {m}}
Kinematikai egyenletek levezetése
1. egyenlet: Ha a gyorsulás állandó, akkor:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Megoldva a sebességet, megvan:
v_f = v_i + itt
2. egyenlet: Az átlagos sebesség kétféleképpen írható fel:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Ha kicseréljük _vf _ az 1. egyenlet kifejezésével kapjuk:
\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}
Megoldása xf ad:
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 a ^ 2 -nél
3. egyenlet: Kezdje a következő megoldásával t az 1. egyenletben
v_f = v_i + at \ implicit t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}
Csatlakoztassa ezt a kifejezést a következőhöz: t az átlagos sebességviszonyban:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ implicit \ frac {(x_f-x_i)} {(\ frac {(v_f-v_i )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
A kifejezés átrendezése a következőket eredményezi:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)