Hogyan lehet dy / dx-t találni implicit differenciálással, hasonló egyenletet adva, mint y = sin (xy)

Az implicit differenciálás egy olyan technika, amelyet egy függvény deriváltjának meghatározására használnak y = f (x) formában.

Az implicit differenciálás használatának elsajátításához használhatjuk a módszert egy egyszerű példán, majd feltárhatunk néhány összetettebb esetet.

Bár bonyolultabban hangzik, az implicit differenciálás ugyanolyan matematikát és készségeket használ, mint az alapvető differenciálás. Fontos megjegyezni azonban, hogy függő változónk most magában a függvényben jelenik meg.

Vegyünk egy egyszerű egyenletet, például xy = 1. Kétféle módon lehet megtalálni a származékát y vonatkozóan xvagy dy / dx. Először is egyszerűen megoldhatjuk y az egyenletben, és a teljesítményszabályt használja a derivatívákra. Ha így tenné, akkor: y = 1 / x. A teljesítményszabály alkalmazásával tehát kiderülhet, hogy dy / dx = -1 / x².

Ezt a problémát implicit differenciálással is megtehetjük. Szerencsére már tudjuk a választ (annak azonosnak kell lennie, függetlenül attól, hogy mi számoljuk ki), így ellenőrizhetjük a munkánkat!

Először alkalmazza a deriváltat az xy = 1 egyenlet mindkét oldalára. Ezután d / dx (xy) = d / dx (1); egyértelműen a jobb oldal egyenlő 0-val, de a bal oldal megköveteli a láncszabályt. Ez azért van, mert függvényünk származékát vesszük, y, miközben egy másik tényezőre szorozódik x. Ennek kiszámításához: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. Az elsődleges jelölést arra használjuk, hogy egy származékot jelöljünk a vonatkozásában x.

Átírva egyenletünket: y + xy '= 0. Itt az ideje megoldani y ' egyenletünkben! Nyilvánvaló, hogy y '= -y / x. De az eredeti információk felhasználásával tudjuk, hogy y = 1 / x, így ezt visszahelyezhetjük. Miután ezt megtettük, látjuk, hogy y '= -1 / x², csakúgy, mint korábban találtuk.

Az y = sin (xy) deriváltjának meghatározásához implicit differenciálást fogunk használni, emlékezve arra, hogy (d / dx) y = y '.

Először alkalmazza a deriváltat az egyenlet mindkét oldalára: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). Az egyenlet bal oldala egyértelműen y ', amit meg kell oldanunk, de a jobb oldal némi munkát igényel; konkrétan a láncszabály és a termékszabály. Először a láncszabályt kell alkalmazni a bűnre (xy), majd az argumentum termékszabályát xy. Szerencsére már kiszámoltuk ezt a termékszabályt.

Ezt követően ennek egyszerűsítése: y '= cos (xy) (y + xy').

Nyilvánvaló, hogy ezt az egyenletet meg kell oldani y ' annak meghatározása érdekében, hogyan y ' kapcsolatban áll x és y.

Szigeteljen minden kifejezést a y ' egyik oldalon: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).

Ezután számolja ki a y ' hogy: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

Most azt látjuk, hogy y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).

További egyszerűsítésre van szükség, de mivel a funkciónk rekurzívan definiált, az y = sin (xy) bedugása valószínűleg nem eredményez kielégítő megoldást. Ebben az esetben több információ vagy egy kifinomultabb módszer hasznos lehet ezen egyenletek ábrázolására.

Először is, ne feledje, hogy az implicit differenciálás azon alapszik, hogy az egyik változó a másik függvénye. Általában azt látjuk, hogy a függvények y = f (x), de írhatunk egy x = f (y) függvényt. Legyen óvatos, amikor megközelíti ezeket a problémákat, hogy meghatározza, melyik változó függ a másiktól.

Ezután ne feledje, hogy gondosan alkalmazza a származékos szabályokat. Az implicit megkülönböztetéshez nagyon gyakran lesz szükség a láncszabályra, valamint a termékre és a hányadosra. E módszerek helyes alkalmazása elengedhetetlen a végső válasz meghatározásához.

Végül oldja meg a kívánt deriváltat azáltal, hogy elkülöníti és a lehető legnagyobb mértékben leegyszerűsíti a kifejezéseket.