Trikovi za faktoring kvadratnih jednadžbi

Kvadratne jednadžbe su formule koje se mogu zapisati u obliku Ax ^ 2 + Bx + C = 0. Ponekad se kvadratna jednadžba može pojednostaviti faktoringom ili izražavanjem jednadžbe kao produkta zasebnih pojmova. To može olakšati jednadžbu. Čimbenike ponekad može biti teško prepoznati, ali postoje trikovi koji mogu olakšati postupak.

Ispitajte kvadratnu jednadžbu kako biste utvrdili postoji li broj i / ili varijabla koja može podijeliti svaki član jednadžbe. Na primjer, uzmite u obzir jednadžbu 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. Najveći broj koji se može ravnomjerno podijeliti u svaki pojam jednadžbe je 2, pa je 2 najveći zajednički faktor (GCF).

Podijelite svaki pojam u jednadžbi s GCF, a cjelokupnu jednadžbu pomnožite s GCF. U primjeru jednadžbe 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0, to bi rezultiralo 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).

Pojednostavite izraz dovršavanjem podjele u svakom pojmu. U konačnoj jednadžbi ne bi trebalo biti razlomka. U primjeru bi to rezultiralo 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.

Ispitajte kvadratnu jednadžbu da vidite je li u obliku Ax ^ 2 + 0x - C = 0, gdje je A = y ^ 2 i C = z ^ 2. Ako je to slučaj, kvadratna jednadžba izražava razliku od dva kvadrata. Na primjer, u jednadžbi 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 i C = 9 = 3 ^ 2, dakle y = 2 i z = 3.

Jednadžbu uračunajte u oblik (yx + z) (yx - z) = 0. U jednadžbi primjera, y = 2 i z = 3; stoga je faktorirana kvadratna jednadžba (2x + 3) (2x - 3) = 0. To će uvijek biti faktorski oblik kvadratne jednadžbe koja je razlika kvadrata.

Ispitajte kvadratnu jednadžbu da biste vidjeli je li savršeni kvadrat. Ako je kvadratna jednadžba savršen kvadrat, može se zapisati u obliku y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, kao što je jednadžba 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, koja se može prepisati kao (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. U ovom slučaju, y = 2x i z = 3.

Provjerite je li izraz 2yz pozitivan. Ako je pojam pozitivan, čimbenici savršene kvadratne kvadratne jednadžbe uvijek su (y + z) (y + z). Na primjer, u gornjoj jednadžbi 12x je pozitivno, stoga su faktori (2x + 3) (2x + 3) = 0.

Provjerite je li pojam 2yz negativan. Ako je pojam negativan, čimbenici su uvijek (y - z) (y - z). Na primjer, ako gornja jednadžba ima izraz -12x umjesto 12x, faktori bi bili (2x - 3) (2x - 3) = 0.

Postavite faktorski oblik kvadratne jednadžbe zapisujući (vx + w) (yx + z) = 0. Prisjetite se pravila za množenje FOIL-a (Prvo, Izvana, Iznutra, Posljednje). Kako je prvi član kvadratne jednadžbe Ax ^ 2, oba čimbenika jednadžbe moraju sadržavati x.

Riješi za v i y uzimajući u obzir sve čimbenike A u kvadratnoj jednadžbi. Ako je A = 1, tada će i v i y uvijek biti 1. U primjeru jednadžbe x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, tako da se v i y mogu riješiti u faktoriranoj jednadžbi da bi se (1x + w) (1x + z) = 0.

Odredite jesu li w i z pozitivni ili negativni. Primjenjuju se sljedeća pravila: C = pozitivno i B = pozitivno; oba čimbenika imaju znak + C = pozitivan i B = negativan; oba čimbenika imaju znak - C = negativan i B = pozitivan; faktor s najvećom vrijednošću ima znak + C = negativan i B = negativan; faktor s najvećom vrijednošću ima znak - U primjeru jednadžbe iz koraka 2, B = -9 i C = +8, tako da oba čimbenika jednadžbe imat će znakove, a faktorska jednadžba može se zapisati kao (1x - w) (1x - z) = 0.

Napravite popis svih čimbenika C kako biste pronašli vrijednosti za w i z. U gornjem primjeru C = 8, pa su faktori 1 i 8, 2 i 4, -1 i -8 i -2 i -4. Čimbenici se moraju zbrojiti s B, što je u primjeru jednadžbe -9, pa je w = -1 i z = -8 (ili obrnuto), a naša se jednadžba u potpunosti računa kao (1x - 1) (1x - 8) = 0.

Smanjite jednadžbu na najjednostavniji oblik, koristeći gore navedenu metodu Najvećeg zajedničkog faktora. Na primjer, u jednadžbi 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0, GCF je 9, pa se jednadžba pojednostavljuje na 9 (x ^ 2 + 3x - 10).

Nacrtajte okvir i podijelite ga u tablicu s dva reda i dva stupca. Stavite Ax ^ 2 pojednostavljene jednadžbe u redak 1, stupac 1 i C pojednostavljene jednadžbe u redak 2, stupac 2.

Pomnožite A s C i pronađite sve čimbenike proizvoda. U gornjem primjeru A = 1 i C = -10, tako da je proizvod (1) (- 10) = -10. Čimbenici -10 su -1 i 10, -2 i 5, 1 i -10 i 2 i -5.

Utvrdite koji se od čimbenika proizvoda AC zbrajaju u B. U primjeru, B = 3. Čimbenici od -10 koji zbrajaju 3 su -2 i 5.

Pomnožite svaki od identificiranih čimbenika s x. U gornjem primjeru to bi rezultiralo -2x i 5x. Ova dva nova izraza stavite u dva prazna mjesta na grafikonu, tako da tablica izgleda ovako:

x ^ 2 | 5x

-2x | -10

Pronađite GCF za svaki redak i stupac okvira. U primjeru je CGF za gornji redak x, a za donji red -2. GCF za prvi stupac je x, a za drugi stupac 5.

Jednadžbu s faktorom napišite u oblik (w + v) (y + z) koristeći čimbenike identificirane iz redaka grafikona za w i v i čimbenike identificirane iz stupaca grafikona za y i z. Ako je jednadžba pojednostavljena u 1. koraku, ne zaboravite uključiti GCF jednadžbe u faktorionirani izraz. U slučaju primjera, faktorirana jednadžba bit će 9 (x - 2) (x + 5) = 0.

Provjerite je li jednadžba u standardnom kvadratnom obliku prije nego što započnete bilo koju od opisanih metoda.

Nije uvijek lako identificirati savršeni kvadrat ili razliku kvadrata. Ako brzo možete vidjeti da je kvadratna jednadžba koju pokušavate uzeti u obzir u jednom od ovih oblika, onda to može biti od velike pomoći. Međutim, ne trošite puno vremena pokušavajući to shvatiti, jer bi ostale metode mogle biti brže.

Uvijek provjerite svoj rad množenjem faktora metodom FOIL. Čimbenici bi se uvijek trebali množiti natrag do izvorne kvadratne jednadžbe.