Ogromna je razlika između klasične mehanike i kvantne mehanike. Dok u klasičnoj mehanici čestice i predmeti imaju jasno definirane položaje, u kvantnoj mehanici (prije mjerenja) a može se reći da čestica ima samo niz mogućih položaja, koje val opisuje u smislu vjerojatnosti funkcija.
Schrodingerova jednadžba definira valnu funkciju kvantno-mehaničkih sustava, a učenje kako je koristiti i interpretirati važan je dio bilo kojeg tečaja iz kvantne mehanike. Jedan od najjednostavnijih primjera rješenja ove jednadžbe je čestica u kutiji.
Funkcija vala
U kvantnoj mehanici čestica je predstavljena svalna funkcija. To se obično označava grčkim slovom psi (Ψ) i ovisi i o položaju i o vremenu i sadrži sve što se o čestici može znati.
Modul ove funkcije na kvadrat govori vam vjerojatnost da će se čestica naći na položajuxna vrijemet, pod uvjetom da je funkcija "normalizirana". To samo znači prilagođeno tako da se sigurno može pronaći nanekipoložajxu to vrijemetkada se zbroje rezultati na svakom mjestu, tj. uvjet normalizacije kaže da:
\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
Pomoću valne funkcije možete izračunati vrijednost očekivanja za položaj čestice u vremenut, gdje vrijednost očekivanja samo znači prosječnu vrijednost za koju biste dobilixako ste mjerenje ponovili veći broj puta. Naravno, to ne znači da će to biti rezultat koji biste dobili za svako određeno mjerenje - tjučinkovitonasumična, iako su neka mjesta obično znatno vjerojatnija od drugih.
Postoje mnoge druge veličine za koje možete izračunati vrijednosti očekivanja, poput impulsa i vrijednosti energije, kao i mnoge druge "vidljive".
Schrodingerova jednadžba
Schrodingerova jednadžba diferencijalna je jednadžba koja se koristi za pronalaženje vrijednosti valne funkcije i vlastitih stanja energije čestice. Jednadžba se može izvesti iz očuvanja energije i izraza za kinetičku i potencijalnu energiju čestice. Najjednostavniji način pisanja je:
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ djelomičnoΨ} {\ djelomično t}
Ali ovdjeHpredstavljaHamiltonov operator, što je samo po sebi prilično dugačak izraz:
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ djelomično ^ 2} {\ djelomično x ^ 2} + V (x)
Ovdje,mje masa, ℏ je Planckova konstanta podijeljena s 2π, iV (x) je opća funkcija za potencijalnu energiju sustava. Hamiltonian ima dva različita dijela - prvi je član kinetička energija sustava, a drugi član je potencijalna energija.
Svaka uočljiva vrijednost u kvantnoj mehanici povezana je s operatorom, a u vremenski neovisnoj verziji Schrodingerove jednadžbe Hamiltonian je energetski operator. Međutim, u vremenski ovisnoj verziji prikazanoj gore, Hamiltonian generira i vremensku evoluciju valne funkcije.
Kombinirajući sve podatke sadržane u jednadžbi, možete opisati razvoj čestice u prostoru i vremenu te predvidjeti moguće energetske vrijednosti i za nju.
Vremenski neovisna Schrodingerova jednadžba
Vremenski ovisni dio jednadžbe može se ukloniti - da bi se opisala situacija koja se ne razvija vremenom - razdvajanjem valne funkcije na prostor i vremenske dijelove:Ψ(x, t) = Ψ(x) f(t). Vremenski ovisni dijelovi tada se mogu poništiti iz jednadžbe, što ostavlja vremenski neovisnu verziju Schrodingerove jednadžbe:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
Eje energija sustava. Ovo ima točan oblik jednadžbe vlastite vrijednosti, saΨ(x) koja je vlastita funkcija iEbudući da je vlastita vrijednost, zbog čega se vremenski neovisna jednadžba često naziva jednadžbom vlastite vrijednosti za energiju kvantno-mehaničkog sustava. Vremensku funkciju jednostavno daju:
f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}
Jednadžba neovisna o vremenu korisna je jer pojednostavljuje izračune za mnoge situacije u kojima evolucija vremena nije osobito presudna. Ovo je najkorisniji oblik za probleme "čestica u kutiji", pa čak i za određivanje razine energije elektrona oko atoma.
Čestica u kutiji (beskonačni kvadratni zdenac)
Jedno od najjednostavnijih rješenja vremenski neovisne Schrodingerove jednadžbe je za česticu u beskrajno dubok kvadratni zdenac (tj. beskonačno potencijalni zdenac) ili jednodimenzionalna kutija baze duljinaL. Naravno, to su teoretske idealizacije, ali ona daje osnovnu ideju o tome kako rješavate Schrodingerovu jednadžbu bez uračunavanja mnogih komplikacija koje postoje u prirodi.
S potencijalnom energijom postavljenom na 0 izvan bunara gdje je gustoća vjerojatnosti također 0, Schrodingerova jednadžba za ovu situaciju postaje:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
A općenito rješenje jednadžbe ovog oblika je:
Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
Međutim, gledanje graničnih uvjeta može vam pomoći suziti ovo. Zax= 0 ix= L, tj. Stranice kutije ili zidovi bunara, valna funkcija mora ići na nulu. Kosinusna funkcija ima vrijednost 1 kada je argument 0, tako da je za zadovoljenje graničnih uvjeta konstantaBmora biti jednak nuli. Ovo ostavlja:
Ψ (x) = A \ sin (kx)
Također možete koristiti granične uvjete za postavljanje vrijednosti zak. Budući da funkcija sin ide na nulu pri vrijednostimanπ, gdje je kvantni brojn= 0, 1, 2, 3... i tako dalje, to znači kadax = L, jednadžba će raditi samo akok = nπ / L. Napokon, možete koristiti činjenicu da se valna funkcija mora normalizirati da biste pronašli vrijednostA(integrirati u sve mogućexvrijednosti, tj. od 0 doL, a zatim postavite rezultat jednak 1 i preuredite), kako biste došli do konačnog izraza:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
Koristeći izvornu jednadžbu i ovaj rezultat, tada možete riješiti zaE, što daje:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}
Imajte na umu da činjenica danje u ovom izrazu znači da su razine energijekvantizirano, pa ne mogu podnijetibilo kojivrijednost, ali samo diskretni skup specifičnih vrijednosti razine energije ovisno o masi čestice i duljini kutije.
Čestica u kutiji (Konačni kvadratni zdenac)
Isti problem postaje malo kompliciraniji ako potencijalna bušotina ima konačnu visinu zida. Na primjer, ako potencijalV (x) uzima vrijednostV0 izvan potencijalne bušotine i 0 unutar nje, valna se funkcija može odrediti u tri glavna područja koja pokriva problem. Međutim, ovo je proces koji je više uključen, tako da ćete ovdje moći vidjeti samo rezultate, a ne proći kroz cijeli postupak.
Ako je bunar nax= 0 dox = Lopet, za regiju gdjex<0 rješenje je:
Ψ (x) = Budite ^ {kx}
Za regijux > L, to je:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
Gdje
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
Za područje unutar bunara, gdje je 0 <x < L, opće rješenje je:
Ψ (x) = C \ sin (šx) + D \ cos (šx)
Gdje
w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
Tada možete koristiti granične uvjete za određivanje vrijednosti konstantiA, B, CiD, napominjući da, osim što imaju definirane vrijednosti na zidovima bušotine, valna funkcija i njezin prvi derivat moraju biti posvuda kontinuirani, a valna funkcija svugdje konačna.
U drugim slučajevima, poput plitkih kutija, uskih kutija i mnogih drugih specifičnih situacija, postoje aproksimacije i različita rješenja koja možete pronaći.
