Umnožak dviju skalarnih veličina je skalar, a umnožak skalara s vektorom je vektor, ali što je s umnožakom dva vektora? Je li to skalar ili neki drugi vektor? Odgovor je, mogao bi biti i jedan i drugi!
Postoje dva načina za uzimanje vektorskog proizvoda. Jedno je uzimanje njihovog točkanog produkta koji daje skalar, a drugo je njihovo uzimanje križnog proizvoda, što daje drugi vektor. Koji se proizvod koristi ovisi o određenom scenariju i koju količinu pokušavate pronaći.
Unakrsni umnožak dva vektora daje treći vektor koji pokazuje u smjeru okomitom na ravnina obuhvaćena dvama vektorima, a čija veličina ovisi o relativnoj okomitosti dvaju vektora vektori.
Definicija unakrsnog proizvoda vektora
Prvo definiramo umnožak jediničnih vektoraja, jik(vektori veličine 1 koji su u točkix-, y-iz-komponentni smjerovi standardnog kartezijanskog koordinatnog sustava) kako slijedi:
\ bold {i \ times j} = \ bold {k} \\ \ bold {j \ times k} = \ bold {i} \\ \ bold {k \ times i} = \ bold {j} \\ \ bold {i \ puta i} = \ podebljano {j \ puta j} = \ podebljano {k \ puta k} = 0
Imajte na umu da su ti odnosi antikomutativni, odnosno ako promijenimo redoslijed vektora iz kojih uzimamo umnožak, to okreće znak proizvoda:
\ bold {j \ puta i} = - \ bold {k} \\ \ bold {k \ times j} = - \ bold {i} \\ \ bold {i \ times k} = - \ bold {j}
Gornje definicije možemo koristiti za izvođenje formule za umnožak dvodimenzionalnih vektora. Prvo napišite vektoreaibkako slijedi:
\ bold {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
Pomnoživši dva vektora, dobivamo:
\ bold {a \ puta b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ puta (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ podebljano {k}) \\ = a_xb_x \ bold {i \ times i} + a_xb_y \ bold {i \ times j} + a_xb_z \ bold {i \ puta k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ puta i} + a_zb_y \ bold {k \ puta j} + a_zb_z \ podebljano {k \ puta k}
Zatim, pomoću gornjih odnosa jediničnih vektora, ovo pojednostavljuje na:
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ podebljano {k \ puta i} - a_zb_y \ podebljano {j \ puta k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {i \ puta j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {k \ times i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ bold {j \ puta k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ bold { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ podebljano {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {k}
(Imajte na umu da su izrazi čiji je umnožak 0 bio izrazi koji tvore točkasti proizvod (koji se naziva i skalarni proizvod)!Ovo nije slučajno.)
Drugim riječima:
\ bold {a \ puta b} = \ bold {c} = (c_x, c_y, c_z) \ text {gdje} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
Veličina križnog proizvoda može se naći pomoću Pitagorinog teorema.
Formula unakrsnog proizvoda također se može izraziti kao odrednica sljedeće matrice:
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ begin {matrica} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {matrica} \ Bigg | \\ = \ Veliko | \ započni {matrica} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matrica} \ Veliki | \ podebljani {i} - \ Veliki | \ početak {matrica} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrica} \ Veliki | \ bold {j} + \ Veliki | \ početak {matrica} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ kraj {matrica} \ Veliko | \ podebljano {k}
\ text {Gdje je odrednica} \ Big | \ započinje {matrica} a & b \\ c & d \ kraj {matrica} \ Big | = oglas - pr
Druga, često vrlo prikladna formulacija križnog proizvoda je (za kraj izvedbe pogledajte kraj ovog članka):
\ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ podebljano {b} | \ sin (θ) \ podebljano {n}
Gdje:
- |a| je veličina (duljina) vektoraa
- |b| je veličina (duljina) vektorab
- θ je kut između ai b
- nje jedinični vektor okomit na ravninu obuhvaćenu aib
Okomiti vektori i pravilo desne ruke
U opisu poprečnog proizvoda navedeno je da je smjer poprečnog proizvoda okomit na ravninu obuhvaćenu vektoromai vektorb. Ali ovo ostavlja dvije mogućnosti: Moglo bi ukazatiodavion iliuravnina koju su prenijeli ti vektori. Stvarnost je takva da zapravo možemo birati bilo koliko ako smo dosljedni. Favorizirani smjer koji su odabrali i matematičari i znanstvenici, određuje nešto što se nazivapravilo desne ruke.
Da biste odredili smjer vektorskog križnog proizvoda pomoću pravila desne strane, pokažite prstom desne ruke u smjeru vektoraaa srednji prst u smjeru vektorab. Palac zatim pokazuje u smjeru vektora unakrsnih proizvoda.
Ponekad je ove upute teško prikazati na ravnom papiru, pa se često donose sljedeće konvencije:
Da bismo označili vektor koji ulazi u stranicu, crtamo krug s X u njemu (zamislite da predstavlja repno pero na kraju strelice dok ga gledate s leđa). Da bismo označili vektor koji ide u suprotnom smjeru od stranice, crtamo krug s točkom (zamislite to kao vrh strelice koja pokazuje prema stranici).
•••na
Svojstva unakrsnog proizvoda
Slijedi nekoliko svojstava vektorskog umnoška:
\ # \ tekst {1. Ako su} \ bold {a} \ text {i} \ bold {b} \ text {paralelne, tada} \ bold {a \ times b} = 0
\ # \ tekst {2. } \ bold {a \ puta b} = - \ bold {b \ puta a}
\ # \ tekst {3. } \ bold {a \ times (b + c)} = \ bold {a \ times b} + \ bold {a \ times c}
\ # \ tekst {4. } (c \ bold {a) \ puta b} = c (\ bold {a \ puta b})
\ # \ tekst {5. } \ bold {a \ cdot (b \ puta c}) = \ bold {(a \ puta b) \ cdot c}
\ text {Gdje} \ bold {a \ cdot (b \ puta c}) = \ Bigg | \ begin {matrica} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {matrica } \ Bigg |
Geometrijska interpretacija unakrsnog proizvoda
Kada se vektorski umnožak formulira u smislu sin (θ), njegova veličina može se protumačiti kao predstavlja područje paralelograma obuhvaćenog s dva vektora. To je zato što zaa × b, |b| sin (θ) = visina paralelograma, kao što je prikazano, i |a| je baza.
•••Dana Chen | Znanstveno
Veličina trostrukog proizvoda vektoraa (b × c) može se pak protumačiti kao volumen paralelepipeda raspona vektoraa, bic. Ovo je zbog(b × c) daje vektor čija je veličina površina obuhvaćena vektorombi vektorc, a čiji je smjer okomit na to područje. Uzimajući točkasti umnožak vektoraas ovim rezultatom u osnovi množi osnovno područje pomnoženo s visinom.
Primjeri
Primjer 1:Sila na čestici nabojaqkrećući se brzinomvu magnetskom poljuBdaje:
\ bold {F} = q \ bold {v \ puta B}
Pretpostavimo da elektron prolazi kroz magnetsko polje 0,005 T brzinom 2 × 107 m / s. Ako prolazi okomito kroz polje, tada će sila koju će osjetiti biti:
\ bold {F} = q \ bold {v \ puta B} = qvB \ sin (\ theta) \ bold {n} = (-1.602 \ puta 10 ^ {19}) (2 \ puta 10 ^ 7) (0,005 ) \ sin (90) \ bold {n} = -1.602 \ puta 10 ^ {- 14} \ text {N} \ bold {n}
Međutim, ako elektron putuje paralelno s poljem, tada je θ = 0, a sin (0) = 0, čineći silu 0.
Imajte na umu da će za elektron koji prolazi okomito kroz polje, ta sila uzrokovati njegovo kretanje kružnim putem. Polumjer ove kružne staze može se pronaći postavljanjem magnetske sile jednake centripetalnoj sili i rješavanjem radijusar:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ implicira r = \ frac {mv} {qB}
Za gornji primjer, uključivanjem brojeva dobiva se radijus od oko 0,0227 m.
Primjer 2:Zakretni moment fizičke veličine izračunava se i pomoću vektorskog umnoška. Ako silaFprimjenjuje se na objekt na položajurod točke okretanja, okretni momentτoko pivot točke daje:
\ podebljano {\ tau} = \ podebljano {r \ puta F}
Razmotrimo situaciju u kojoj se sila 7 N primjenjuje pod kutom na kraj šipke od 0,75 čiji je drugi kraj pričvršćen za osovinu. Kut izmeđuriFje 70 stupnjeva, tako da se zakretni moment može izračunati:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ puta F} = rF \ sin (\ theta) = (0,75) (7) \ sin (70) \ bold {n} = 4,93 \ text {Nm} \ bold { n}
Smjer okretnog momenta,n, nalazi se putem pravila s desne strane. Ako se primijeni na gornju sliku, ovo daje smjer koji izlazi sa stranice ili zaslona. Općenito, zakretni moment primijenjen na objekt željet će uzrokovati rotaciju predmeta. Vektor zakretnog momenta uvijek će ležati u istom smjeru kao i os rotacije.
Zapravo se u ovoj situaciji može koristiti pojednostavljeno pravilo desne ruke: Upotrijebite desnu ruku da "zgrabite" os rotacije u na takav način da se prsti uvijaju u smjeru u kojem će povezani moment vršiti zakretanje predmeta. Palac je tada usmjeren u smjeru vektora momenta.
Izvođenje formule unakrsnih proizvoda
\ text {Ovdje ćemo pokazati kako formula za više proizvoda} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ podebljano {b} | \ sin (θ) \ bold {n} \ text {može se izvesti.}
Razmotrimo dva vektoraaibs kutomθizmeđu njih. Pravokutni trokut može se oblikovati crtanjem linije s vrha vektoraana okomitu dodirnu točku na vektorb.
Koristeći Pitagorin teorem, dobivamo sljedeći odnos:
\ Veliki | \ Veliki (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Veliki) \ bold {b} \ Veliki | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ podebljano {a} | ^ 2
\ text {Gdje} \ Veliko (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Veliko) \ bold {b} \ text {je projekcija vektora} \ bold {a} \ text {na vektor} \ bold {b}.
Pojednostavljujući izraz, dobivamo sljedeće:
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold { a} | ^ 2
Zatim pomnožite obje strane jednadžbe s |b|2 i pomaknite prvi pojam na desnu stranu da biste dobili:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold { a \ cdot b} | ^ 2
Radeći s desne strane, sve pomnožite, a zatim pojednostavnite:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z - a_z_x____________b (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ podebljano {a \ puta b} | ^ 2
Postavljajući rezultat jednak lijevoj strani prethodne jednadžbe, dobit ćemo sljedeći odnos:
| \ podebljano {a \ puta b} | = | \ podebljano {a} || \ podebljano {b} || \ sin (\ theta) |
To nam pokazuje da su veličine jednake u formuli, pa je posljednje što je potrebno za dokazivanje formule pokazati da su upute također iste. To se može učiniti jednostavnim uzimanjem točkastih proizvoda odasa × bibsa × bi pokazuju da su 0, što implicira da je smjera × b je okomita na obje.