Kinetička energija rotacijeopisuje energiju gibanja koja proizlazi iz rotacije ili kružnog gibanja predmeta. Sjetite se togalinearna kinetička energijamisemkrećući se brzinomvdaje 1 / 2mv2. Ovo je jednostavan izračun za bilo koji objekt koji se kreće ravnomjerno. Primjenjuje se na središte mase objekta, omogućujući približavanje objekta kao točkovnu masu.
Sada, ako želimo opisati kinetičku energiju proširenog objekta koji se podvrgava složenijim pokretima, proračun postaje složeniji.
Mogli bismo napraviti sukcesivne aproksimacije rastavljanjem proširenog predmeta na male dijelove, od kojih se svaki može približiti kao točke mase, a zatim izračunajte linearnu kinetičku energiju za svaku točku mase zasebno i zbrojite ih da biste pronašli ukupan broj za objekt. Što manje razbijemo objekt, to je bolja aproksimacija. U granicama u kojima komadi postaju beskonačno mali, to se može učiniti pomoću računa.
Ali imamo sreće! Kada je rotacijsko gibanje u pitanju, dolazi do pojednostavljenja. Ako za rotacijski objekt opisujemo njegovu raspodjelu mase oko osi rotacije u smislu momenta tromosti,
Ja, tada smo u mogućnosti koristiti jednostavnu jednadžbu rotacijske kinetičke energije, o kojoj ćemo raspravljati kasnije u ovom članku.Trenutak tromosti
Trenutak tromostije mjera koliko je teško uzrokovati da objekt promijeni svoje rotacijsko gibanje oko određene osi. Moment tromosti za rotirajući objekt ovisi ne samo o masi predmeta, već i o tome kako je ta masa raspoređena oko osi rotacije. Što se dalje udaljava od osi raspodjele mase, to je teže promijeniti njezino rotacijsko gibanje, a time je i moment inercije veći.
SI jedinice za moment inercije su kgm2 (što je u skladu s našim shvaćanjem da to ovisi o masi i o udaljenosti od rotacijske osi). Trenutci tromosti za različite predmete mogu se naći u tablici ili iz računa.
Savjeti
Trenutak tromosti za bilo koji objekt može se pronaći pomoću računa i formule za trenutak tromosti točkaste mase.
Jednadžba rotacijske kinetičke energije
Formula rotacijske kinetičke energije dana je:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
GdjeJaje trenutak tromosti objekta iωje kutna brzina objekta u radijanima u sekundi (rad / s). SI jedinica za rotacijsku kinetičku energiju je džul (J).
Oblik formule rotacijske kinetičke energije analogan je jednadžbi translacijske kinetičke energije; moment tromosti igra ulogu mase, a kutna brzina zamjenjuje linearnu brzinu. Imajte na umu da jednadžba rotacijske kinetičke energije daje isti rezultat za točku masu kao i linearna jednadžba.
Ako zamislimo bodovnu masumkrećući se u krugu polumjerarbrzinomv, tada je njegova kutna brzina ω = v / r, a moment tromosti mr2. Obje jednadžbe kinetičke energije daju isti rezultat, kao što se očekivalo:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ cancel {r ^ 2} v ^ 2} {\ cancel {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
Ako se objekt i rotira, a središte mase kreće se ravnom linijom (kao što se na primjer događa s gumom za kotrljanje), tadaukupna kinetička energijaje zbroj rotacijske kinetičke energije i translacijske kinetičke energije:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Primjeri korištenja formule rotacijske kinetičke energije
Formula rotacijske kinetičke energije ima mnogo primjena. Može se koristiti za izračunavanje jednostavne kinetičke energije predmeta koji se vrti, za izračunavanje kinetičke energije kotrljajući objekt (objekt koji se podvrgava rotacijskom i translacijskom kretanju) i koji treba riješiti za druge nepoznanice. Razmotrimo sljedeća tri primjera:
Primjer 1:Zemlja se vrti oko svoje osi otprilike jednom u 24 sata. Ako pretpostavimo da ima jednoliku gustoću, kolika je njegova kinetička energija rotacije? (Polumjer zemlje je 6,37 × 106 m, a masa mu je 5,97 × 1024 kg.)
Da bismo pronašli rotacijsku kinetičku energiju, prvo moramo pronaći trenutak inercije. Približavajući Zemlju kao čvrstu kuglu, dobivamo:
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5,97 \ times10 ^ {24} \ tekst {kg}) (6,37 \ times10 ^ 6 \ text {m}) ^ 2 = 9,69 \ puta10 ^ {37} \ tekst {kgm} ^ 2
Kutna brzina je 2π radijana / dan. Pretvaranjem ovog u rad / s dobivamo:
2 \ pi \ frac {\ text {radians}} {\ cancel {\ text {day}}} \ frac {1 \ cancel {\ text {day}}} {86400 \ text {seconds}} = 7,27 \ times10 ^ {-5} \ text {rad / s}
Dakle, rotacijska kinetička energija Zemlje je tada:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9,69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2) (7,27 \ times10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2,56 \ puta 10 ^ {29} \ text {J}
Zabavna činjenica: Ovo je više od 10 puta ukupne energije koju sunce izbaci u minuti!
Primjer 2:Jednoliki cilindar mase 0,75 kg i radijusa 0,1 m kotrlja se po podu konstantnom brzinom od 4 m / s. Kolika je njegova kinetička energija?
Ukupnu kinetičku energiju daju:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
U ovom slučaju, I = 1/2 mr2 je moment tromosti čvrstog cilindra iωje povezan s linearnom brzinom preko ω = v / r.
Pojednostavljivanjem izraza za ukupnu kinetičku energiju i uključivanjem vrijednosti dobivamo:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1} } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0,75 \ tekst {kg}) (4 \ text {m / s}) = 2,25 \ text {J}
Imajte na umu da nismo ni trebali koristiti radijus! Otkazao se zbog izravne veze između rotacijske brzine i linearne brzine.
Primjer 3:Učenik na biciklu spušta se niz brdo od odmora. Ako je vertikalna visina brda 30 m, koliko brzo student ide na dno brda? Pretpostavimo da je bicikl težak 8 kg, vozač 50 kg, svaki kotač 2,2 kg (uključen u težinu bicikla) i svaki kotač ima promjer 0,7 m. Približite kotače kao obruče i pretpostavite da je trenje zanemarivo.
Ovdje možemo koristiti mehaničko čuvanje energije kako bismo pronašli konačnu brzinu. Potencijalna energija na vrhu brda pretvara se u kinetičku energiju na dnu. Ta je kinetička energija zbroj translacijske kinetičke energije cijelog sustava osoba + bicikl i rotacijske kinetičke energije guma.
Ukupna energija sustava:
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh = (50 \ text {kg} + 8 \ text {kg}) (9,8 \ text {m / s} ^ 2) (30 \ text {m}) = 17,052 \ tekst {J}
Formula ukupne energije u smislu kinetičkih energija na dnu brda je:
E_ {tot} = KE_ {dno} = \ frac {1} {2} I_ {gume} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ puta m_ {guma} \ puta r_ {guma} ^ 2) (v / r_ {guma}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {guma} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {guma} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
Rješavanje zavdaje:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {guma} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
Napokon, spajanjem brojeva dobivamo svoj odgovor:
v = \ sqrt {\ frac {17,052 \ text {J}} {2,2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23,4 \ text {m / s}