Umnožak dviju skalarnih veličina je skalar, a umnožak skalara s vektorom je vektor, ali što je s umnožakom dva vektora? Je li to skalar ili neki drugi vektor? Odgovor je, mogao bi biti i jedan i drugi!
Postoje dva načina množenja vektora zajedno. Jedno je uzimanje njihova točkanog produkta koji daje skalar, a drugo uzimanje njihovog unakrsnog proizvoda, što daje drugi vektor. Koji proizvod koristiti, ovisi o određenom scenariju i koju količinu pokušavate pronaći.
Thetočkasti proizvodponekad se naziva iskalarni proizvodiliunutarnji proizvod. Geometrijski, točkasti proizvod između dva vektora možete zamisliti kao način množenja vektorskih vrijednosti koji broji samo doprinose u istom smjeru.
- Napomena: Točkasti proizvodi mogu biti negativni ili pozitivni, ali taj znak nije pokazatelj smjera. Iako se u jednoj dimenziji vektorski smjer često označava znakom, skalarne veličine također mogu imati povezane znakove koji nisu pokazivači smjera. Dug je samo jedan od mnogih primjera toga.
Definicija točkanog proizvoda
Točkasti umnožak vektoraa = (ax, ag)ib = (bx, bg)u standardnom kartezijanskom koordinatnom sustavu definiran je kako slijedi:
\ bold {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Kad uzmete točkasti umnožak vektora sa sobom, nastaje zanimljiv odnos:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
Gdje |a| je veličina (duljina)apitagorejskim teoremom.
Druga formula točkanog proizvoda može se izvesti pomoću zakona kosinusa. To se radi na sljedeći način:
Razmotrimo nula nulaaibzajedno s njihovim vektorom razlikea - b. Složite tri vektora tako da tvore trokut.
Zakon kosinusa iz trigonometrije govori nam da:
| \ bold {ab} | ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta )
A pomoću definicije točkanog proizvoda dobivamo:
| \ bold {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 \ bold {a \ cdot b}
Postavljanjem oba izraza jednakim, a zatim pojednostavljivanjem, dobivamo:
\ poništi {| \ bold {a} | ^ 2} + \ poništi {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 \ bold {a \ cdot b} = \ poništi {| \ bold {a} | ^ 2 } + \ otkaži {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ text {} \\\ podrazumijeva \ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ podebljano {b} | \ cos (\ theta)}
Ova formulacija omogućuje da naša geometrijska intuicija uđe u igru. Količina |a| cos (θ) je veličina projekcije vektoraana vektorb.
Dakle, točkasti proizvod možemo smatrati projekcijom jednog vektora na drugi, a zatim produktom njihovih vrijednosti. Drugim riječima, može se vidjeti kao umnožak jednog vektora s količinom drugog vektora u istom smjeru kao i on sam.
Svojstva točkanog proizvoda
Slijedi nekoliko svojstava točkanog proizvoda koja bi vam mogla biti korisna:
\ # \ tekst {1. Ako} \ theta = 0 \ text {,}} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |
To je zato što je cos (0) = 1.
\ # \ tekst {2. Ako} \ theta = 180 \ text {,}} \ bold {a \ cdot b} = - | \ bold {a} || \ bold {b} |
To je zato što je cos (180) = -1.
\ # \ tekst {3. Ako} \ theta = 90 \ text {,}} \ bold {a \ cdot b} = 0
To je zato što je cos (90) = 0.
- Napomena: Za 0 <
θ
<90, točkasti proizvod bit će pozitivan, a za 90 <
θ
<180, točkasti proizvod bit će negativan.
\ # \ tekst {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
To proizlazi iz primjene komutativnog zakona na definiciju točkastih proizvoda.
\ # \ tekst {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
Dokaz:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ bold {a \ cdot b} + \ podebljano {a \ cdot c}
\ # \ tekst {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
Dokaz:
c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ podebljano {b}
Kako pronaći točkasti proizvod
Primjer 1:U fizici rad koji vrši silaFna predmetu dok prolazi kroz pomicanjed, definira se kao:
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos (\ theta)
Gdje je θ kut između vektora sile i vektora pomaka.
Količina posla koji je izvršila sila pokazatelj je koliko je ta sila pridonijela raseljavanju. Ako je sila u istom smjeru kao i pomak (cos (θ) = 0), ona daje svoj maksimalni doprinos. Ako je okomita na pomak (cos (Ѳ) = 90), to uopće ne doprinosi. A ako je suprotno pomicanju, (cos (θ) = 180), to daje negativan doprinos.
Pretpostavimo da dijete gura vlakić-igračku preko staze primjenjujući silu od 5 N pod kutom od 25 stupnjeva u odnosu na liniju staze. Koliko posla radi dijete u vlaku kad ga pomakne 0,5 m?
Riješenje:
F = 5 \ text {N} \\ d = 0,5 \ text {m} \\ \ theta = 25 \ stupanj \\
Korištenjem točkaste definicije proizvoda i uključivanjem vrijednosti dobivamo:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ puta0,5 \ puta \ cos (25) = \ uokvireno {2,27 \ tekst {J}}
Iz ovog konkretnog primjera trebalo bi biti još jasnije da primjena sile okomite na smjer pomaka ne djeluje. Ako je dijete guralo vlak pod pravim kutom prema pruzi, vlak se neće kretati ni naprijed ni natrag duž pruge. Također je intuitivno da će se rad djeteta u vlaku povećavati kako se kut smanjuje, a sila i pomak bliže poravnanju.
Primjer 2:Snaga je još jedan primjer fizičke veličine koja se može izračunati pomoću točkanog proizvoda. U fizici je snaga jednaka radu podijeljenom s vremenom, ali se može zapisati i kao točkasti umnožak sile i brzine kao što je prikazano:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
Gdjevje brzina.
Razmotrimo prethodni primjer djetetova igranja vlakom. Ako nam se umjesto toga kaže da se primjenjuje ista sila koja uzrokuje kretanje vlaka brzinom od 2 m / s niz prugu, tada možemo pomoću točkanog proizvoda pronaći snagu:
P = \ podebljano {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 \ times2 \ times \ cos (25) = 9,06 \ text {Watts}
Primjer 3:Sljedeći primjer gdje se točkasti proizvodi koriste u fizici je slučaj magnetskog toka. Magnetski tok je količina magnetskog polja koja prolazi kroz određeno područje. Nalazi se kao točkasti proizvod magnetskog poljaBs površinomA. (Smjer vektora površine jenormalanili okomito na površinu područja.)
\ Phi = \ podebljano {B \ cdot A}
Pretpostavimo da polje od 0,02 Tesle prolazi kroz žičanu petlju polumjera 10 cm, čineći kut od 30 stupnjeva u odnosu na normalu. Što je tok?
\ Phi = \ podebljano {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0,02 \ puta (\ pi \ times0,1 ^ 2) \ puta \ cos (30) = 0,000544 \ text {Wb}
Kada se ovaj tok promijeni, bilo promjenom vrijednosti polja, promjenom područja petlje ili promjenom kutom zakretanja petlje ili izvora polja, u petlji će se inducirati struja koja generira struja!
Opet primijetite kako je kut relevantan na intuitivan način. Ako je kut bio 90 stupnjeva, to bi značilo da će polje ležati u istoj ravnini s površinom i da nikakve petlje polja ne bi prolazile kroz petlju, što ne bi rezultiralo protokom. Količina fluksa se tada povećava što je kut između polja i normale bliži 0. Točkasti proizvod omogućuje nam da odredimo koliki je dio polja u smjeru normalnom na površinu, a time i doprinosi protoku.
Vektorska projekcija i točkasti proizvod
U ranijim odjeljcima spomenuto je da se točkasti proizvod može smatrati načinom projiciranja jednog vektora na drugi, a zatim množenja njihovih veličina. Kao takav, ne bi trebalo čuditi da se formula za vektorsku projekciju može izvesti iz točkanog proizvoda.
Da bi se projicirao vektorana vektorb, uzmemo točkasti proizvod odasjedinični vektoru smjerub, a zatim pomnožite ovaj skalarni rezultat s istim jediničnim vektorom.
Jedinstveni vektor je vektor duljine 1 koji leži u određenom smjeru. Jedinica vektora u smjeru vektorabje jednostavno vektorskibpodijeljeno s veličinom:
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
Dakle, ova projekcija je tada:
\ text {Projekcija} \ bold {a} \ text {na} \ bold {b} = \ Veliki (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Veliki) \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Veliki (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Veliko) \ podebljano {b}
Točkasti proizvod u višim dimenzijama
Kao što vektori postoje u višoj dimenziji, tako postoji i točkasti proizvod. Zamislite primjer djeteta koje opet gura vlak. Pretpostavimo da ona gura i prema dolje i pod kutom u odnosu na stazu. U standardnom koordinatnom sustavu vektori sile i pomaka trebali bi biti predstavljeni kao trodimenzionalni.
Undimenzija, točkasti proizvod definiran je kako slijedi:
\ bold {a \ cdot b} = \ overset {n} {\ underset {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
I dalje se primjenjuju sva ista svojstva točkastih proizvoda od prije, a zakon kosinusa još jednom daje odnos:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)
Gdje se veličina svakog vektora pronalazi na sljedeći način, opet u skladu s Pitagorinim teoremom:
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
Kako pronaći točkasti proizvod u tri dimenzije
Primjer 1:Točkasti proizvod posebno je koristan kada je potrebno pronaći kut između dva vektora. Na primjer, pretpostavimo da želimo odrediti kut izmeđua= (2, 3, 2) ib= (1, 4, 0). Čak i ako skicirate ta dva vektora u 3-prostoru, može biti vrlo teško omotati glavu oko geometrije. Ali matematika je prilično jednostavna, koristeći činjenicu da:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ podrazumijeva \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ podebljano {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ podebljano {b} |} \ Veliko)
Zatim izračunavanje točkanog proizvoda odaib:
\ podebljano {a \ cdot b} = 2 \ puta1 + 3 \ puta4 + 2 \ puta0 = 14
I izračunavanje veličina svakog vektora:
| \ bold {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12
I na kraju sve priključujemo, dobivamo:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Veliki (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Veliko (\ frac {14} {4,12 \ puta 4,12} \ Veliko) = \ uokvireno {34,4 \ stupanj}
Primjer 2:Pozitivni naboj nalazi se na koordinatnoj točki (3, 5, 4) u trodimenzionalnom prostoru. U kojoj točki duž linije koja pokazuje u smjeru vektoraa= (6, 9, 5) je li električno polje najveće?
Rješenje: Iz našeg znanja o tome kako se jakost električnog polja odnosi na udaljenost, znamo u čemu je stvar na liniji koja je najbliža pozitivnom naboju je mjesto na kojem će biti polje najjači. Iz našeg poznavanja točkastih proizvoda, mogli bismo pretpostaviti da uporaba formule za projekciju ovdje ima smisla. Ta bi nam formula trebala dati vektor čiji je vrh točno u točki koju tražimo.
Moramo izračunati:
\ text {Projekcija} (3, 5, 4) \ text {na} \ bold {a} = \ Veliki ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ Veliko) \ podebljano {a}
Da biste to učinili, prvo dopustite da pronađemo |a|2:
| \ podebljano {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
Zatim točkasti proizvod:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 \ puta6 + 5 \ puta9 + 4 \ puta5 = 83
Podijelivši ovo sa |a|2 daje 83/142 = 0,585. Zatim pomnoživši ovaj skalar saadaje:
0,585 \ podebljano {a} = 0,585 \ puta (6,9,5) = (3,51,5,27,2,93)
Stoga je točka duž crte gdje je polje najjače (3,51, 5,27, 2,93).