Radikalne frakcije nisu male buntovne frakcije koje ostaju vani do kasno, pijući i pušeći lonac. Umjesto toga, to su frakcije koje uključuju radikale - obično četvrtaste korijene kada ste prvi put upoznati s koncept, ali kasnije ćete se možda susresti i s korijenima kockica, četvrtim korijenima i slično, koji se svi nazivaju radikali također. Ovisno o tome što točno vaš učitelj traži od vas, postoje dva načina pojednostavljivanja radikalnih frakcija: Ili uklonite radikal u potpunosti pojednostavite ili "racionalizirajte" razlomak, što znači da eliminirate radikal iz nazivnika, ali možda i dalje ima radikal u brojnik.
Otkazivanje radikalnih izraza iz razlomka
Razmislite o svojoj prvoj opciji, uzimajući radikal iz frakcije. Postoje zapravo dva načina za to. Ako isti radikal postoji u svi pojmovi i na vrhu i na dnu razlomka možete jednostavno izdvojiti i poništiti radikalni izraz. Na primjer, ako imate:
(2√3) / (3√3_)_
Možete izdvojiti oba radikala, jer su oni prisutni u svakom pojmu u brojniku i nazivniku. To vam ostavlja:
√3/√3 × 2/3
A budući da je bilo koji razlomak s točno jednakim nula vrijednostima u brojniku i nazivniku jednak jedinici, ovo možete prepisati kao:
1 × 2/3
Ili jednostavno 2/3.
Pojednostavljivanje radikalnog izraza
Ponekad ćete se suočiti s radikalnim izrazom koji nema sažet odgovor, poput √3 iz prethodnog primjera. U tom ćete slučaju radikalni izraz obično sačuvati onakvim kakav jest, koristeći osnovne operacije poput faktoringa ili otkazivanja da biste ga uklonili ili izolirali. Ali ponekad postoji očit odgovor. Uzmite u obzir sljedeći razlomak:
(√4)/(√9)
U ovom slučaju, ako znate svoje kvadratne korijene, možete vidjeti da oba radikala zapravo predstavljaju poznate cijele brojeve. Kvadratni korijen 4 je 2, a kvadratni korijen 9 je 3. Dakle, ako vidite poznate kvadratne korijene, možete jednostavno prepisati razlomak s njima u pojednostavljenom, cjelobrojnom obliku. U ovom biste slučaju imali:
2/3
To također radi s korijenima kocke i drugim radikalima. Na primjer, korijen kocke od 8 je 2, a korijen od kocke 125 je 5. Pa ako ste naišli:
(3√8) / (3√125)
Uz malo vježbe mogli biste odmah vidjeti da to pojednostavljuje na puno jednostavnije i lakše rukovanje:
2/5
Racionalizacija nazivnika
Učitelji će vam često dopustiti da radikalne izraze držite u brojniku vašeg razlomka; ali, baš kao i broj nula, radikali uzrokuju probleme kad se pojave u nazivniku ili dnu broja razlomka. Dakle, posljednji način od kojeg se može tražiti pojednostavljivanje radikalnih frakcija je operacija koja se naziva racionalizacija, što samo znači izbacivanje radikala iz nazivnika. To često znači da se radikalni izraz umjesto toga pojavljuje u brojniku.
Razmotrimo razlomak
4/_√_5
Ne možete jednostavno pojednostaviti _√_5 na cijeli broj, pa čak i ako ga izbrojite, i dalje vam ostaje razlomak koji ima radikal u nazivniku, kako slijedi:
1/_√_5 × 4/1
Dakle, niti jedna od već raspravljenih metoda neće uspjeti. Ali ako se sjećate svojstava razlomaka, razlomak s bilo kojim brojem koji nije nula na vrhu i dnu jednak je 1. Da biste mogli napisati:
√_5/√_5 = 1
A budući da možete pomnožiti 1 puta bilo što drugo bez promjene vrijednosti te druge stvari, također možete napisati sljedeće bez da zapravo promijenite vrijednost razlomka:
√_5/√5 × 4/√_5
Jednom kad se pomnožite, dogodi se nešto posebno. Brojilac postaje 4_√_5, što je prihvatljivo jer je vaš cilj bio jednostavno izbaciti radikal iz nazivnika. Ako se pojavi u brojniku, možete to riješiti.
U međuvremenu nazivnik postaje √_5 × √5 ili (√_5)2. A budući da se kvadratni korijen i kvadrat međusobno poništavaju, to se pojednostavljuje na jednostavno 5. Dakle, vaš je razlomak sada:
4_√_5 / 5, što se smatra racionalnim razlomkom, jer u nazivniku nema radikala.