Sa Super Bowlom koji je odmah iza ugla, sportaši i navijači svijeta imaju čvrst fokus na velikoj igri. Ali za _math_letes, velika igra može im na pamet staviti mali problem koji se odnosi na moguće rezultate u nogometnoj utakmici. Uz samo ograničene mogućnosti za iznos bodova koje možete osvojiti, neke se ukupne vrijednosti jednostavno ne mogu postići, ali što je najviše? Ako želite znati što povezuje novčiće, nogomet i McDonald’sov pileći grumen, ovo vam predstavlja problem.
Problem matematike Super Bowla
Problem uključuje moguće rezultate koje bi Los Angeles Rams ili New England Patriots mogli postići u nedjelju bez sigurnost ili pretvorba u dvije točke. Drugim riječima, dopušteni načini za povećanje rezultata su terenski golovi u 3 boda i touchdowni u 7 bodova. Dakle, bez sigurnosti ne možete postići rezultat od 2 boda u igri s bilo kojom kombinacijom 3s i 7s. Slično tome, ne možete postići niti ocjenu 4, niti 5.
Pitanje je: Koji je najviši rezultat ne može biti postignut s samo terenskim ciljevima od 3 boda i touchdownom od 7 bodova?
Naravno, touchdownovi bez konverzije vrijede 6, ali budući da do toga ionako možete doći s dva terenska cilja, to nije važno za problem. Također, budući da se ovdje bavimo matematikom, ne morate brinuti o taktikama određene momčadi ili čak bilo kakvim ograničenjima u njihovoj sposobnosti da osvoje bodove.
Pokušajte to riješiti sami prije nego što krenete dalje!
Traženje rješenja (spori put)
Ovaj problem ima neka složena matematička rješenja (pogledajte Resurse za sve pojedinosti, ali glavni rezultat bit će predstavljen u nastavku), ali to je dobar primjer kako to nije potrebno pronaći odgovor.
Sve što trebate učiniti da biste pronašli rješenje grube sile je da jednostavno isprobate svaki rezultat po redu. Dakle, znamo da ne možete postići 1 ili 2, jer su manje od 3. Već smo ustanovili da 4 i 5 nisu mogući, ali 6 jest, s dva terenska cilja. Nakon 7 (što je moguće), možete li zabiti 8? Ne. Tri gola na terenu daju 9, a pogodak na terenu i pretvoreni touchdown čine 10. Ali ne možete dobiti 11.
Od ove točke nadalje, mali rad pokazuje da:
\ započeti {poravnato} 3 × 4 & = 12 \\ 7 + (3 × 2) & = 13 \\ 7 × 2 & = 14 \\ 3 × 5 & = 15 \\ 7 + (3 × 3) & = 16 \\ (7 × 2) + 3 & = 17 \ kraj {poravnato}
I zapravo, tako možete nastaviti koliko god želite. Čini se da je odgovor 11. Ali je li?
Algebarsko rješenje
Matematičari te probleme nazivaju "Frobeniusovim problemima s novčićima". Izvorni oblik povezan je s kovanicama, poput: Ako biste samo kovali novac 4 centa i 11 centi (ne pravi kovanice, ali opet, to vam predstavljaju matematički problemi), koji je najveći iznos novca koji niste mogli proizvesti.
Rješenje je, u smislu algebre, s jednim rezultatom str bodova i jedan rezultat q bodova, najveći rezultat koji ne možete dobiti (N) daje:
N = pq \; - \; (p + q)
Dakle, uključivanje vrijednosti iz problema Super Bowl daje:
\ početak {poravnato} N & = 3 × 7 \; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10 \\ & = 11 \ kraj {poravnato}
Što je odgovor koji smo dobili sporim putem. Pa što ako možete postići samo touchdowne bez konverzije (6 bodova) i touchdown-ove s konverzijama u jednom bodu (7 bodova)? Pogledajte možete li formulu upotrijebiti za izradu prije čitanja.
U ovom slučaju, formula postaje:
\ početak {poravnato} N & = 6 × 7 \; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13 \\ & = 29 \ kraj {poravnato}
Problem s piletinom McNugget
Dakle, igra je gotova i želite pobjednički tim nagraditi putovanjem u McDonald's. Ali McNuggetse prodaju samo u kutijama od 9 ili 20. Pa koji je najveći broj grumenova s vama ne može kupiti s ovim (zastarjelim) brojevima kutija? Pokušajte upotrijebiti formulu kako biste pronašli odgovor prije čitanja.
Od
N = pq \; - \; (p + q)
I sa str = 9 i q = 20:
\ početak {poravnato} N & = 9 × 20 \; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29 \\ & = 151 \ kraj {poravnato}
Dakle, pod uvjetom da ste kupili više od 151 grumenčića - pobjednički će tim uostalom vjerojatno biti prilično gladan - možete kupiti bilo koji broj grumenova koji želite s nekom kombinacijom kutija.
Možda se pitate zašto smo pokrili samo dvobrojne verzije ovog problema. Što ako ugradimo sigurnosne mjere ili ako McDonalds proda tri veličine grumenskih kutija? Tamo je nema jasne formule u ovom slučaju, iako se većina njegovih verzija može riješiti, neki su aspekti pitanja potpuno neriješeni.
Pa možda kad gledate utakmicu ili jedete komade piletine veličine zalogaja, možete tvrditi da pokušavate riješiti otvoreni problem iz matematike - vrijedi pokušati izvući se iz kućnih poslova!