Avektorje veličina koja ima i veličinu i smjer. Ovo se razlikuje od askalarkoličina, koja odgovara samo veličini. Brzina je primjer vektorske veličine. Ima i veličinu (koliko brzo nešto ide) i smjer (smjer u kojem putuje.)
Vektori se često crtaju kao strelice. Duljina strelice odgovara veličini vektora, a točka strelice označava smjer.
Postoje dva načina rada s dodavanjem i oduzimanjem vektora. Prvi je grafički, manipulirajući dijagramima strelica samih vektora. Drugi je matematički, što daje točne rezultate.
Grafičko sabiranje i oduzimanje vektora u jednoj dimenziji
Kada dodajete dva vektora, rep drugog vektora stavljate na vrh prvog vektora, a da pritom zadržite orijentaciju vektora. Therezultantni vektorje vektor koji započinje na repu prvog vektora i usmjerava se pravocrtno na vrh drugog vektora.
Na primjer, razmislite o dodavanju vektoraAiBkoji usmjeravaju u istom smjeru duž crte. Smještamo ih "od vrha do repa" i rezultirajući vektor,C, usmjerava u istom smjeru i ima duljinu koja je zbroj duljinaAiB.
Oduzimanje vektora u jednoj dimenziji u osnovi je isto što i dodavanje, osim što "preokrenete" drugi vektor. To izravno proizlazi iz činjenice da je oduzimanje isto što i dodavanje negativa.
Matematičko sabiranje i oduzimanje vektora u jednoj dimenziji
Kada radite u jednoj dimenziji, smjer vektora može se označiti znakom. Odabiremo jedan smjer koji će biti pozitivan smjer (obično su "gore" ili "desno" odabrani kao pozitivni), a bilo koji vektor koji pokazuje u tom smjeru dodijelimo kao pozitivnu veličinu. Bilo koji vektor usmjeren u negativnom smjeru negativna je veličina. Kada zbrajate ili oduzimate vektore, dodajte ili oduzmite njihove veličine s priloženim odgovarajućim znakovima.
Pretpostavimo u prethodnom odjeljku, vektorAimao magnitudu 3 i vektorBimao magnitudu 5. Tada rezultantni vektorC = A + B =8, vektor magnitude 8 koji pokazuje u pozitivnom smjeru i rezultantni vektorD = A - B =-2, vektor magnitude 2 koji pokazuje u negativnom smjeru. Imajte na umu da je to u skladu s grafičkim rezultatima od prije.
Savjet: Pazite da dodate samo vektore iste vrste: brzina + brzina, sila + sila i tako dalje. Kao i sva matematika u fizici, jedinice se moraju podudarati!
Grafičko sabiranje i oduzimanje vektora u dvije dimenzije
Ako prvi i drugi vektor nisu duž iste crte u kartezijanskom prostoru, možete ih upotrijebiti istom metodom "tip do repa" da biste ih dodali ili oduzeli. Da biste dodali dva vektora, jednostavno zamislite da podignete drugi i stavite njegov rep na vrh prvog, zadržavajući orijentaciju kako je prikazano. Rezultirajući vektor je strelica koja počinje na repu prvog vektora i završava na vrhu drugog vektora:
Baš kao i u jednoj dimenziji, oduzimanje jednog vektora od drugog ekvivalentno je okretanju i dodavanju. Grafički ovo izgleda ovako:
•••Dana Chen | Znanstveno
Napomena: Ponekad se dodavanje vektora prikazuje grafički spajanjem repova dvaju dodanih vektora i stvaranjem paralelograma. Rezultantni vektor je tada dijagonala ovog paralelograma.
Matematičko sabiranje i oduzimanje vektora u dvije dimenzije
Da biste matematički zbrajali i oduzimali vektore u dvije dimenzije, slijedite ove korake:
Razložiti svaki vektor ux-komponenta, koja se ponekad naziva i vodoravna komponenta, i ag-komponenta, koja se ponekad naziva i vertikalna komponenta, koristeći trigonometriju. (Imajte na umu da komponente mogu biti negativne ili pozitivne, ovisno o smjeru u kojem pokazuje vektor)
Dodajtex-komponente oba vektora zajedno, a zatim dodajteg-komponente oba vektora zajedno. Ovaj vam rezultat dajexigkomponente rezultantnog vektora.
Veličina rezultirajućeg vektora može se naći pomoću Pitagorinog teorema.
Smjer rezultantnog vektora može se naći putem trigonometrije pomoću funkcije inverzne tangente. Ovaj se smjer obično daje kao kut u odnosu na pozitivnox-os.
Trigonometrija u zbrajanju vektora
Prisjetite se odnosa između stranica i kutova pravokutnog trokuta iz trigonometrije.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ tekst {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ tekst {} \\ \ tan (\ theta) = \ frac {b} {a}
Pitagorin poučak:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Kretanje projektila pruža klasične primjere kako bismo te odnose mogli koristiti za dekompoziciju vektora i određivanje konačne veličine i smjera vektora.
Razmislite o dvoje ljudi koji se igraju ulova. Pretpostavimo da vam se kaže da se lopta baca s visine od 1,3 m brzinom od 16 m / s pod kutom od 50 stupnjeva u odnosu na vodoravnu. Da biste započeli analizu ovog problema, morat ćete rastaviti ovaj početni vektor brzine uxigkomponente kao što je prikazano:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ puta \ cos (50) = 10,3 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ puta \ sin (50) = 12,3 \ tekst {m / s}
Ako hvatač propusti loptu i udari o tlo, kojom će konačnom brzinom udariti?
Pomoću kinematičkih jednadžbi možemo utvrditi da su konačne komponente brzine lopte:
v_ {xf} = 10,3 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = - 13,3 \ text {m / s}
Pitagorin teorem omogućuje nam da pronađemo veličinu:
v_ {f} = \ sqrt {(10.3) ^ 2 + (-13.3) ^ 2} = 16.8 \ text {m / s}
A trigonometrija nam omogućuje određivanje kuta:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Veliki (\ frac {-13.3} {10.3} \ Veliki) = - 52,2 \ stupanj
Primjer zbrajanja i oduzimanja vektora
Razmislite o automobilu koji zavija iza ugla. Pretpostavimovijer je auto ux-smjer magnitude 10 m / s, ivfje pod kutom od 45 stupnjeva s pozitivomx-os magnitude 10 m / s. Ako se ta promjena u kretanju dogodi za 3 sekunde, kolika je veličina i smjer ubrzanja automobila dok se okreće?
Podsjetimo na to ubrzanjeaje vektorska veličina definirana kao:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Gdjevfivisu konačna, odnosno početna brzina (a time su i vektorske veličine).
Da bi se izračunala vektorska razlikavf - vi,prvo moramo razložiti početni i konačni vektor brzine:
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7,07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7,07 \ text {m / s}
Zatim oduzimamo završnicuxigkomponente iz početnogxigkomponente za dobivanje komponentivf - vi:
Tada oduzimamoxigkomponente:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.07-10 = -2.93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7.07 -0 = 7,07 \ tekst {m / s}
Zatim podijelite svaki po vremenu da biste dobili komponente vektora ubrzanja:
a_x = \ frac {-2.93} {3} = - 0.977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7.07} {3} = 2.36 \ text {m / s} ^ 2
Pomoću pitagorejskog teorema pronađite veličinu vektora ubrzanja:
a = \ sqrt {(- 0,977) ^ 2 + (2,36) ^ 2} = 2,55 \ tekst {m / s} ^ 2
Konačno, upotrijebite trigonometriju da biste pronašli smjer vektora ubrzanja:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Veliki (\ frac {2,36} {- 0,977} \ Veliki) = 113 \ stupanj