Jednadžbe kinematike opisuju kretanje predmeta koji trpi konstantno ubrzanje. Ove jednadžbe povezuju varijable vremena, položaja, brzine i ubrzanja pokretnog objekta, omogućujući rješavanje bilo koje od ovih varijabli ako su ostale poznate.
Ispod je prikaz predmeta koji podliježe stalnom ubrzanju u jednoj dimenziji. Varijabla t je za vrijeme, pozicija je x, brzina v i ubrzanje a. Pretplata ja i f znače "početni", odnosno "konačni". Pretpostavlja se da t = 0 at xja i vja.
(Umetni sliku 1)
Popis kinematičkih jednadžbi
U nastavku su navedene tri primarne kinematičke jednadžbe koje se primjenjuju pri radu u jednoj dimenziji. Te su jednadžbe:
\ # \ text {1:} v_f = v_i + at \\ \ # \ text {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 at ^ 2 \\ \ # \ text {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)
Bilješke o kinematičkim jednadžbama
- Te jednadžbe rade samo s konstantnim ubrzanjem (koje u slučaju konstantne brzine može biti nula).
- Ovisno o izvoru koji ste pročitali, konačne količine možda neće imati indeks f, i / ili mogu biti predstavljeni u oznakama funkcija kao x (t) - čitati "x u funkciji vremena "ili"x na vrijeme t”- i v (t). Imajte na umu da x (t) ne znači x pomnoženo sa t!
-
Ponekad i količina xf - xja napisano je
Δx, što znači „promjena u x, "Ili čak jednostavno kao d, što znači raseljavanje. Svi su ekvivalentni. Položaj, brzina i ubrzanje su vektorske veličine, što znači da imaju pravac povezan s njima. U jednoj dimenziji smjer se obično označava znakovima - pozitivne veličine su u pozitivnom smjeru, a negativne u negativnom smjeru. Pretplate: "0" se može koristiti za početni položaj i brzinu umjesto ja. Ovo "0" znači "na t = 0, "i x0 i v0 obično se izgovaraju "x-nught" i "v-nič". * Samo jedna od jednadžbi ne uključuje vrijeme. To je ključno pri ispisivanju zadataka i određivanju koje jednadžbe koristiti!
Poseban slučaj: Slobodni pad
Kretanje u slobodnom padu je kretanje predmeta koji se ubrzava samo gravitacijom u nedostatku otpora zraka. Primjenjuju se iste kinematičke jednadžbe; međutim, poznata je vrijednost ubrzanja u blizini Zemljine površine. Veličina ovog ubrzanja često je predstavljena sa g, gdje je g = 9,8 m / s2. Smjer ovog ubrzanja je prema dolje, prema površini Zemlje. (Imajte na umu da se neki izvori mogu približiti g kao 10 m / s2, a drugi mogu koristiti vrijednost koja je točna na više od dvije decimale.)
Strategija rješavanja problema za kinematičke probleme u jednoj dimenziji:
Skicirajte dijagram situacije i odaberite odgovarajući koordinatni sustav. (Sjetite se toga x, v i a su sve vektorske veličine, pa će dodjeljivanjem jasnog pozitivnog smjera biti lakše pratiti znakove.)
Napišite popis poznatih količina. (Pazite da saznanja ponekad nisu očita. Potražite fraze poput "započinje s odmora", što znači vja = 0, ili "udara o tlo", što znači da xf = 0 i tako dalje.)
Odredite koju količinu pitanje želi da pronađete. Što je nepoznato za što ćete se rješavati?
Odaberite odgovarajuću kinematičku jednadžbu. To će biti jednadžba koja sadrži vašu nepoznatu količinu zajedno s poznatim količinama.
Riješite jednadžbu za nepoznatu veličinu, zatim priključite poznate vrijednosti i izračunajte konačni odgovor. (Pazite na jedinice! Ponekad ćete trebati pretvoriti jedinice prije računanja.)
Primjeri jednodimenzionalne kinematike
Primjer 1: Oglas tvrdi da sportski automobil može prijeći brzinu od 0 do 60 mph za 2,7 sekundi. Kakvo je ubrzanje ovog automobila u m / s2? Koliko putuje tijekom ovih 2,7 sekundi?
Riješenje:
(Umetni sliku 2)
Poznate i nepoznate količine:
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {? }
Prvi dio pitanja zahtijeva rješavanje nepoznatog ubrzanja. Ovdje se možemo služiti jednadžbom # 1:
v_f = v_i + at \ implicira a = \ frac {(v_f-v_i)} t
No prije nego što priključimo brojeve, moramo pretvoriti 60 mph u m / s:
60 \ poništi {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0,477 \ text {m / s}} {\ poništi {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26,8 \ text {m / s}
Dakle, ubrzanje je tada:
a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ podcrtano {\ bold {9.93} \ text {m / s} ^ 2}
Da bismo pronašli koliko daleko ide u to vrijeme, možemo koristiti jednadžbu 2:
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 u ^ 2 = \ frac 1 2 \ puta 9,93 \ puta 2,7 ^ 2 = \ podcrtano {\ podebljano {36,2} \ tekst {m}}
Primjer 2: Lopta se baca brzinom 15 m / s s visine od 1,5 m. Koliko brzo ide kad padne o tlo? Koliko treba udarca o tlo?
Riješenje:
(Umetni sliku 3)
Poznate i nepoznate količine:
x_i = 1,5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9,8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?
Da bismo riješili prvi dio, možemo koristiti jednadžbu br. 3:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \ podrazumijeva v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}
Sve je već u dosljednim jedinicama, tako da možemo uključiti vrijednosti:
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9,8) (0-1,5)} = \ pm \ sqrt {254.4} \ približno \ pm16 \ text {m / s}
Ovdje postoje dva rješenja. Koji je točan? Iz našeg dijagrama možemo vidjeti da bi konačna brzina trebala biti negativna. Dakle, odgovor je:
v_f = \ podcrtano {\ bold {-16} \ text {m / s}}
Za rješavanje vremena možemo koristiti jednadžbu # 1 ili jednadžbu # 2. Budući da je jednadžba # 1 jednostavnija za rad, koristit ćemo je:
v_f = v_i + at \ podrazumijeva t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9.8} \ približno \ podcrtano {\ bold {3.2} \ text {s }}
Napominjemo da odgovor na prvi dio ovog pitanja nije bio 0 m / s. Iako je istina da će nakon spuštanja kuglice imati 0 brzine, ovo pitanje želi znati koliko brzo ide u tom djeliću sekunde prije udara. Jednom kad lopta dođe u dodir s tlom, naše kinematičke jednadžbe više neće vrijediti, jer ubrzanje neće biti konstantno.
Kinematičke jednadžbe za kretanje projektila (dvije dimenzije)
Projektil je objekt koji se kreće u dvije dimenzije pod utjecajem Zemljine gravitacije. Njegov je put parabola, jer je jedino ubrzanje posljedica gravitacije. Kinematičke jednadžbe za kretanje projektila imaju malo drugačiji oblik od gore navedenih kinematičkih jednadžbi. Koristimo činjenicu da su komponente gibanja koje su međusobno okomite - poput vodoravne x smjer i okomica g smjer - neovisni su.
Strategija rješavanja problema s problemima kinematike kretanja projektila:
Skicirajte dijagram situacije. Kao i kod jednodimenzionalnog kretanja, korisno je skicirati scenarij i naznačiti koordinatni sustav. Umjesto korištenja naljepnica x, v i a za položaj, brzinu i ubrzanje potreban nam je način označavanja kretanja u svakoj dimenziji zasebno.
Za vodoravni smjer najčešće se koristi x za položaj i vx za x-komponentu brzine (imajte na umu da je ubrzanje 0 u ovom smjeru, pa nam za to ne treba varijabla.) U g smjera, najčešće je za upotrebu g za položaj i vg za y-komponentu brzine. Ubrzanje se može označiti ag ili se možemo poslužiti činjenicom da znamo da je ubrzanje uslijed gravitacije g u negativnom smjeru y, i samo to upotrijebite.
Napišite popis poznatih i nepoznatih veličina podijelivši problem na dva dijela: okomito i vodoravno gibanje. Pomoću trigonometrije pronađite x- i y-komponente bilo kojih vektorskih veličina koje ne leže duž osi. To može biti korisno navesti u dva stupca:
(umetnite tablicu 1)
Napomena: Ako se brzina daje kao veličina zajedno s kutom, Ѳ, iznad horizontale, zatim upotrijebite vektorsku razgradnju, vx= vcos (Ѳ) i vg= vsin (Ѳ).
Možemo uzeti u obzir naše tri kinematičke jednadžbe od prije i prilagoditi ih smjerovima x i y.
X smjer:
x_f = x_i + v_xt
Smjer Y:
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2g (y_f - y_i)
Imajte na umu da ubrzanje u g smjer je -g ako pretpostavimo da je gore pozitivan. Uobičajena zabluda je da je g = -9,8 m / s2, ali ovo je netočno; g samo je veličina ubrzanja: g = 9,8 m / s2, pa moramo navesti da je ubrzanje negativno.
Riješite jedno nepoznato u jednoj od tih dimenzija, a zatim uključite ono zajedničko u oba smjera. Iako je gibanje u dvije dimenzije neovisno, događa se na istoj vremenskoj skali, pa je vremenska varijabla jednaka u obje dimenzije. (Vrijeme koje je potrebno loptici da se podvrgne vertikalnom kretanju jednako je kao i vrijeme potrebno horizontalnom kretanju.)
Primjeri kinematike kretanja projektila
Primjer 1: Projektil se lansira vodoravno s litice visine 20 m s početnom brzinom od 50 m / s. Koliko treba udarca o tlo? Koliko daleko od podnožja litice slijeće?
(umetnite sliku 4)
Poznate i nepoznate količine:
(umetnuti tablicu 2)
Vrijeme koje je potrebno za udar na tlo možemo pronaći pomoću druge jednadžbe okomitog gibanja:
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ podrazumijeva t = \ sqrt {\ frac {(2 \ puta 20)} g} = \ podcrtavanje {\ bold {2.02} \ text {s} }
Zatim pronaći gdje slijeće, xf, možemo koristiti jednadžbu vodoravnog kretanja:
x_f = x_i + v_xt = 50 \ times2.02 = \ podcrtano {\ bold {101} \ text {s}}
Primjer 2: Lopta se lansira na 100 m / s od razine tla pod kutom od 30 stupnjeva u odnosu na vodoravnu. Gdje slijeće? Kada je njegova brzina najmanja? Koje je njegovo mjesto u ovom trenutku?
(umetnite sliku 5)
Poznate i nepoznate količine:
Prvo moramo rastaviti vektor brzine na komponente:
v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ približno 86,6 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ tekst {m / s}
Naša tablica količina je tada:
(umetnuti tablicu 3)
Prvo moramo pronaći vrijeme kada je lopta u letu. To možemo učiniti s drugom vertikalnom jednadžbom_. Imajte na umu da koristimo simetriju parabole da odredimo da konačni _y brzina je negativna početne vrijednosti:
Tada određujemo koliko se kreće u x smjer u ovom vremenu:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ puta 10,2 \ približno \ podcrtano {\ bold {883} \ text m}
Pomoću simetrije paraboličkog puta možemo odrediti da je brzina najmanja pri 5,1 s, kada je projektil na vrhuncu svog gibanja, a vertikalna komponenta brzine je 0. X- i y-komponente njegovog kretanja u ovom trenutku su:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ puta 5,1 \ približno \ podcrtano {\ bold {442} \ text m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ times5.1- \ frac 1 2 9,8 \ puta 5,1 ^ 2 \ približno \ podcrtano {\ bold {128} \ text {m}}
Izvođenje kinematičkih jednadžbi
Jednadžba # 1: Ako je ubrzanje konstantno, tada:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Rješavajući brzinu, imamo:
v_f = v_i + at
Jednadžba # 2: Prosječnu brzinu možemo zapisati na dva načina:
v_ {prosjek} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Ako zamijenimo _vf _izrazom iz jednadžbe # 1 dobivamo:
\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}
Rješavanje za xf daje:
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 na ^ 2
Jednadžba # 3: Započnite rješavanjem za t u jednadžbi # 1
v_f = v_i + at \ implicira t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}
Priključite ovaj izraz za t u odnosu prosječne brzine:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ implicira \ frac {(x_f-x_i)} {(\ frac {(v_f-v_i )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Preuređivanje ovog izraza daje:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)