Zakoni gibanja njihala

Klatna imaju zanimljiva svojstva koja fizičari koriste za opisivanje drugih predmeta. Na primjer, planetarna orbita slijedi sličan obrazac i njihanje na njihalu može se osjećati kao da ste na njihalu. Ta svojstva potječu iz niza zakona koji upravljaju kretanjem njihala. Učeći ove zakone, možete početi razumjeti neka od osnovnih načela fizike i kretanja općenito.

Kretanje njihala može se opisati pomoću

u kojemθpredstavlja kut između žice i okomite crte prema sredini,tpredstavlja vrijeme, iTje razdoblje, vrijeme potrebno da se dogodi jedan cjeloviti ciklus gibanja njihala (mjereno pomoću1 / f) kretanja za njihalo.

​Jednostavno harmonijsko gibanje, ili kretanje koje opisuje kako brzina objekta oscilira proporcionalno količini pomicanja iz ravnoteže, može se koristiti za opis jednadžbe njihala. Njihanje boba njihala pokreće ova sila koja djeluje na njega dok se kreće naprijed-natrag.

•••Syed Hussain Ather

Zakoni koji reguliraju kretanje njihala doveli su do otkrića važnog svojstva. Fizičari rastavljaju sile na vertikalnu i horizontalnu komponentu. U gibanju njihala,

To pokazuje da masa njihala nema značaja za njegovo kretanje, ali vodoravna napetost žice ima. Jednostavno harmonijsko gibanje slično je kružnom gibanju. Možete opisati objekt koji se kreće kružnom putanjom, kao što je prikazano na gornjoj slici, određivanjem kuta i radijusa potrebnog u odgovarajućem kružnom putu. Zatim, koristeći trigonometriju pravokutnog trokuta između središta kruga, položaja objekta i pomaka u oba smjera x i y, možete pronaći jednadžbex = rsin (θ)iy = rcos (θ).​

Jednodimenzionalna jednadžba predmeta u jednostavnom harmonijskom gibanju dana jex = r cos (ωt).Možete dalje zamijenitiAzaru kojemAjeamplituda, maksimalni pomak od početnog položaja objekta.

Kutna brzinaωs obzirom na vrijemetza ove kutoveθdana je odθ = ωt. Zamijenite li jednadžbu koja povezuje kutnu brzinu s frekvencijomf​, ​ω = 2​​πf, možete zamisliti ovo kružno gibanje, a zatim, kao dio njihala koje se njiše naprijed-natrag, tada rezultirajuća jednostavna harmonijska jednadžba gibanja je

•••Syed Hussain Ather

Klatna, poput masa na opruzi, primjeri sujednostavni harmonijski oscilatori: Postoji sila obnavljanja koja se povećava ovisno o tome koliko je njihalo pomaknuto, a njihovo se kretanje može opisati pomoćujednostavna jednadžba harmonijskog oscilatora​

u kojemθpredstavlja kut između žice i okomite crte prema sredini,tpredstavlja vrijeme iTjerazdoblje, vrijeme potrebno za nastanak jednog cjelovitog ciklusa gibanja njihala (mjereno pomoću1 / f) kretanja za njihalo.

​θ_maksje još jedan način za definiranje maksimuma koji kut oscilira tijekom kretanja njihala i još jedan način za definiranje amplitude njihala. Ovaj je korak objašnjen u nastavku u odjeljku "Jednostavna definicija njihala".

Sljedeća implikacija zakona jednostavnog njihala je da razdoblje oscilacija s konstantnom duljinom ne ovisi o veličini, obliku, masi i materijalu predmeta na kraju žice. To se jasno pokazuje kroz jednostavno izvođenje njihala i jednadžbe koje rezultiraju.

Možete odrediti jednadžbu za ajednostavno njihalo, definicija koja ovisi o jednostavnom harmonijskom oscilatoru, iz niza koraka koji započinju jednadžbom gibanja njihala. Budući da je sila gravitacije njihala jednaka sili kretanja njihala, možete ih postaviti jednakima pomoću Newtonovog drugog zakona s masom njihalaM, duljina nizaL, kutθ,gravitacijsko ubrzanjegi vremenski intervalt​.

•••Syed Hussain Ather

Postavili ste Newtonov drugi zakon jednak trenutku tromostiI = mr²za neku misumi polumjer kružnog gibanja (u ovom slučaju duljina žice)rputa kutnog ubrzanjaα​.

1. ​ΣF = Ma: Drugi Newtonov zakon kaže da je neto silaΣFna objektu jednaka je masi predmeta pomnoženoj ubrzanjem.
2. ​Ma = I α: Ovo vam omogućuje podešavanje sile gravitacijskog ubrzanja (-Mg grijeha (θ) L)jednaka sili rotacije
   
3. ​-Mg sin (θ) L = I α​: Možete dobiti smjer vertikalne sile uslijed gravitacije (-Mg) izračunavanjem ubrzanja kaogrijeh (θ) Lakosin (θ) = d / Lza neki vodoravni pomakdi kutθ​ kako bi se objasnio smjer.
   
4. ​-Mg sin (θ) L = ML² α: Jednadžbu zamjenjujete momentom tromosti rotacijskog tijela koristeći duljinu niza L kao polumjer.
   
5. ​-Mg sin (θ) L = -ML²​​d²θ / dt: Računajte kutno ubrzanje zamjenom drugog izvoda kuta s obzirom na vrijeme zaα.Ovaj korak zahtijeva računske i diferencijalne jednadžbe.
   
6. ​d²θ / dt² + (g / L) sinθ = 0: To možete dobiti preuređivanjem obje strane jednadžbe
   
7. ​d²θ / dt² + (g / L) θ = 0: Možete približnogrijeh (θ)kaoθza potrebe jednostavnog njihala pod vrlo malim kutovima titranja
   
8. ​θ (t) = θ_makscos (t (L / g)²): Jednadžba gibanja ima ovo rješenje. Možete ga provjeriti uzimajući drugi izvod ove jednadžbe i radeći na dobivanju koraka 7.

Postoje i drugi načini jednostavnog izvođenja njihala. Shvatite značenje svakog koraka da biste vidjeli kako su povezani. Pomoću ovih teorija možete opisati jednostavno kretanje njihala, ali trebali biste uzeti u obzir i druge čimbenike koji mogu utjecati na teoriju jednostavnog njihala.

Ako usporedite rezultat ovog izvođenja

na jednadžbu jednostavnog harmonijskog oscilatoraby postavljajući ih jednakima jedna za druge, možete izvesti jednadžbu za razdoblje T:

Primijetite da ova jednadžba ne ovisi o masiMnjihala, amplitudaθ_maks, niti na vrijemet. To znači da razdoblje ne ovisi o masi, amplitudi i vremenu, već se, umjesto toga, oslanja na dužinu žice. Pruža vam sažet način izražavanja kretanja njihala.

Jednadžbom za razdoblje možete preurediti jednadžbu tako da se dobije

i zamijeniti 1 sek zaTi9,8 m / s²zagdobitiL =0,0025 m. Imajte na umu da ove jednadžbe jednostavne teorije njihala pretpostavljaju da je duljina niza bez trenja i bez mase. Da bi se uzeli u obzir ti čimbenici, trebale bi složenije jednadžbe.

Možete klatno povući unatragθpustiti da se ljulja naprijed-natrag kako bi vidio kako oscilira baš poput proljeća. Za jednostavno njihalo možete ga opisati pomoću jednadžbi gibanja jednostavnog harmonijskog oscilatora. Jednadžba gibanja dobro funkcionira za manje vrijednosti kuta iamplituda, maksimalni kut, jer se jednostavni model njihala oslanja na aproksimaciju kojagrijeh (θ)​ ≈ ​θza neki kut njihalaθ.Kako kutovi i amplitude vrijednosti postaju veći od oko 20 stupnjeva, ova aproksimacija također ne radi.

Isprobajte sami. Njihalo koje se ljulja s velikim početnim kutomθneće oscilirati tako redovito da bi vam omogućio upotrebu jednostavnog harmonijskog oscilatora da biste ga opisali. Pod manjim početnim kutomθ, njihalo se puno lakše približava pravilnom, oscilatornom gibanju. Budući da masa njihala nema utjecaja na njegovo kretanje, fizičari su dokazali da sva njihala imaju isti period oscilacija kutovi - kut između središta njihala u najvišoj točki i središta njihala u zaustavljenom položaju - manji od 20 stupnjeva.

Za sve praktične svrhe njihala u pokretu, njihalo će se na kraju usporiti i zaustaviti zbog trenje između žice i pričvršćene točke iznad, kao i zbog otpora zraka između njihala i zraka okolo toga.

Za praktične primjere kretanja njihala, razdoblje i brzina ovisit će o vrsti upotrijebljenog materijala koji će uzrokovati ove primjere trenja i otpora zraka. Ako izvodite proračune o teoretskom oscilacijskom ponašanju njihala, a da ne uzimate u obzir te sile, tada će on uzeti u obzir da klatno oscilira beskonačno.

Newtonov prvi zakon definira brzinu objekata kao odgovor na sile. Zakon kaže da će se, ako se objekt kreće određenom brzinom i ravnom crtom, nastaviti kretati tom brzinom i ravnom crtom, beskonačno, sve dok na njega ne djeluje druga sila. Zamislite da bacite loptu ravno naprijed - lopta bi neprestano obilazila zemlju ako na nju ne djeluju otpor zraka i gravitacija. Ovaj zakon pokazuje da, budući da se njihalo kreće bočno u stranu, a ne gore-dolje, na njega ne djeluju sile gore i dolje.

Newtonov drugi zakon koristi se u određivanju neto sile na njihalu postavljanjem gravitacijske sile jednake sili strune koja se natrag povlači na njihalu. Postavljanje ovih jednadžbi jednakih jedna drugoj omogućuje izvođenje jednadžbi gibanja za njihalo.

Treći Newtonov zakon kaže da svaka akcija ima reakciju jednake snage. Ovaj zakon radi s prvim zakonom koji pokazuje da iako masa i gravitacija poništavaju vertikalnu komponentu vektora napetosti žica, ništa ne poništava horizontalnu komponentu. Ovaj zakon pokazuje da se sile koje djeluju na njihalo mogu međusobno poništiti.

Fizičari koriste Newtonov prvi, drugi i treći zakon kako bi dokazali da vodoravna napetost strune pomiče njihalo bez obzira na masu ili gravitaciju. Zakoni jednostavnog njihala slijede ideje Newtonova tri zakona gibanja.