क्या आपने कभी उन खिलौना पक्षियों में से एक को देखा है जो बिना अपनी चोंच के आपकी उंगलियों पर संतुलन बनाने में सक्षम हैं, जैसे कि जादू से? यह जादू नहीं है जो पक्षी को बिल्कुल भी संतुलित करने की अनुमति देता है, बल्कि द्रव्यमान के केंद्र से जुड़ी सरल भौतिकी है।
द्रव्यमान के केंद्र के पीछे भौतिकी को समझना आपको न केवल संवेग के संरक्षण और अन्य संबंधित को समझने की अनुमति देता है भौतिकी, लेकिन आपके द्वारा खेले जाने वाले खेलों में स्थिरता और गतिशीलता को भी सूचित कर सकती है, साथ ही आपको कुछ रचनात्मक संतुलन करने की अनुमति भी दे सकती है कार्य करता है।
मास के केंद्र की परिभाषा
एक वस्तु कासेंटर ऑफ मास, जिसे कभी-कभी गुरुत्वाकर्षण का केंद्र भी कहा जाता है, उस बिंदु के रूप में सोचा जा सकता है जहां किसी वस्तु या प्रणाली के कुल द्रव्यमान को बिंदु द्रव्यमान के रूप में माना जा सकता है। कुछ स्थितियों में, बाह्य बलों के साथ ऐसा व्यवहार किया जा सकता है मानो वे वस्तु के द्रव्यमान के केंद्र पर कार्य कर रहे हों।
खिलौना पक्षी आपकी उंगलियों पर संतुलन के लिए, द्रव्यमान का केंद्र उसकी चोंच पर होता है। यह पहली बार में गलत लग सकता है, यही वजह है कि संतुलन बनाने की क्रिया जादुई लगती है। दरअसल, एक शाखा पर बैठे पक्षी के लिए, उसके द्रव्यमान का केंद्र उसके शरीर में कहीं होता है। लेकिन बैलेंसिंग बर्ड टॉय में अक्सर भारित पंख होते हैं जो बाहर और आगे की ओर फैले होते हैं, जिससे यह अलग तरह से संतुलित हो जाता है।
द्रव्यमान का केंद्र एक ही वस्तु के लिए निर्धारित किया जा सकता है - जैसे कि संतुलित पक्षी - या इसे कई वस्तुओं की एक प्रणाली के लिए गणना की जा सकती है, जैसा कि आप बाद के खंड में देखेंगे।
एकल वस्तु के लिए द्रव्यमान केंद्र
कठोर पिंड पर हमेशा एक बिंदु होगा जो उस पिंड के द्रव्यमान केंद्र का स्थान है। किसी वस्तु के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करती है।
यदि कोई वस्तु एकसमान घनत्व की है, तो उसका द्रव्यमान केंद्र निर्धारित करना आसान होता है। उदाहरण के लिए, एकसमान घनत्व वाले वृत्त में द्रव्यमान का केंद्र वृत्त का केंद्र होता है। (हालांकि, यह मामला नहीं होगा, अगर वृत्त एक तरफ से दूसरे की तुलना में सघन होता)।
वास्तव में, घनत्व समान होने पर द्रव्यमान का केंद्र हमेशा वस्तु के ज्यामितीय केंद्र पर होगा। (इस ज्यामितीय केंद्र को कहा जाता हैकेन्द्रक.)
यदि घनत्व एक समान नहीं है, तो द्रव्यमान के केंद्र को निर्धारित करने के अन्य तरीके भी हैं। इनमें से कुछ विधियों में कलन का उपयोग शामिल है, जो इस लेख के दायरे से बाहर है। लेकिन किसी कठोर वस्तु के द्रव्यमान केंद्र को निर्धारित करने का एक आसान तरीका यह है कि आप इसे अपनी उंगलियों पर संतुलित करने का प्रयास करें। द्रव्यमान का केंद्र संतुलन बिंदु पर होगा।
तलीय वस्तुओं के लिए उपयोगी एक अन्य विधि इस प्रकार है:
- एक साहुल रेखा के साथ एक किनारे के बिंदु से आकृति को निलंबित करें।
- आकृति पर एक रेखा खींचें जो साहुल रेखा के साथ मिलती है।
- एक साहुल रेखा के साथ एक अलग किनारे बिंदु से आकृति को निलंबित करें।
- आकृति पर एक रेखा खींचें जो नई साहुल रेखा के साथ मिलती है।
- खींची गई दो रेखाएँ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करनी चाहिए।
- यह अनोखा चौराहा बिंदु द्रव्यमान के केंद्र का स्थान है।
हालांकि, कुछ वस्तुओं के लिए, संतुलन बिंदु का वस्तु की सीमा से बाहर होना संभव है। उदाहरण के लिए, एक अंगूठी के बारे में सोचें। वलय के आकार के लिए द्रव्यमान का केंद्र केंद्र में होता है, जहाँ वलय का कोई भी भाग मौजूद नहीं होता है।
कणों की एक प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र
कणों की एक प्रणाली के लिए द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति को उनकी औसत द्रव्यमान स्थिति के रूप में माना जा सकता है।
एक कठोर वस्तु के रूप में एक ही विचार का उपयोग किया जा सकता है यदि आप कल्पना करते हैं कि कणों की यह प्रणाली कठोर, द्रव्यमान रहित विमान से जुड़ी हुई है। तब द्रव्यमान का केंद्र उस प्रणाली का संतुलन बिंदु होगा।
गणितीय रूप से कणों की एक प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र निर्धारित करने के लिए, निम्नलिखित सरल सूत्र का उपयोग किया जा सकता है:
\vec{r} = \frac{1}{M}(m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + ...
कहा पेमप्रणाली का कुल द्रव्यमान है,ममैंव्यक्तिगत जनता हैं औरआरमैंउनकी स्थिति वैक्टर हैं।
एक आयाम में (एक सीधी रेखा में वितरित द्रव्यमान के लिए) आप प्रतिस्थापित कर सकते हैंआरसाथ सेएक्स.
दो आयामों में, आप पा सकते हैंएक्स-समन्वय औरआप-द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक अलग से:
x_{cm} = \frac{1}{M}(m_1x_1 + m_2x_2 +... \\ \पाठ{ }\\ y_{cm} = \frac{1}{M}(m_1y_1 + m_2y_2 + ...
मास के केंद्र की गणना के उदाहरण
उदाहरण 1:कणों के निम्नलिखित निकाय के द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए: द्रव्यमान का कण 0.1 kg (1, 2) पर स्थित, द्रव्यमान का कण 0.05 किग्रा (2, 4) पर स्थित है और द्रव्यमान का कण 0.075 किग्रा (2,) पर स्थित है। 1).
समाधान 1:के लिए सूत्र लागू करें Applyएक्स-द्रव्यमान केंद्र का निर्देशांक इस प्रकार है:
x_{cm} = \frac{1}{M}(m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3) \\\text{ }\\= \frac{1}{0.1 + 0.05 + 0.075}(0.1(1) + 0.05(2 ) + ०.०७५(२))\\\पाठ{ }\\=०.०७९
फिर के लिए सूत्र लागू करेंआप-द्रव्यमान केंद्र का निर्देशांक इस प्रकार है:
y_{cm} = \frac{1}{M}(m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3) \\\text{ }\\= \frac{1}{0.1 + 0.05 + 0.075}(0.1(2) + 0.05(4 ) + 0.075(1))\\\पाठ{ }\\=2.11
तो द्रव्यमान के केंद्र का स्थान (0.079, 2.11) है।
उदाहरण 2:एक समान घनत्व वाले समबाहु त्रिभुज के द्रव्यमान केंद्र का स्थान ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष बिन्दु (0, 0), (1, 0) और (1/2, 3/2) पर स्थित हैं।
समाधान 2:आपको इस समबाहु त्रिभुज का ज्यामितीय केंद्र ज्ञात करना है जिसकी भुजा 1 है।एक्स-ज्यामितीय केंद्र का निर्देशांक सीधा है - यह केवल 1/2 है।
आप-कोऑर्डिनेट थोड़ा पेचीदा है। यह उस स्थान पर घटित होगा जहां त्रिभुज के शीर्ष से बिंदु (0, 1/2) तक की एक रेखा किसी अन्य कोने से विपरीत भुजा के मध्य बिंदु तक एक रेखा को काटती है। यदि आप इस तरह की व्यवस्था को स्केच करते हैं, तो आप अपने आप को एक 30-60-90 समकोण त्रिभुज के साथ पाएंगे जिसका लंबा पैर 0.5 है और छोटा पैर हैआप-समन्वय। इन पक्षों के बीच संबंध √3y = 1/2 है, इसलिए y = √3/6, और द्रव्यमान के केंद्र के निर्देशांक (1/2, √3/6) हैं।
मास के केंद्र की गति
कई भौतिकी गणनाओं में किसी वस्तु के द्रव्यमान के केंद्र या वस्तुओं की प्रणाली का उपयोग संदर्भ बिंदु के रूप में किया जा सकता है।
बातचीत करने वाले कणों की एक प्रणाली के साथ काम करते समय, उदाहरण के लिए, सिस्टम के द्रव्यमान का केंद्र ढूंढना रैखिक गति की समझ की अनुमति देता है। जब रैखिक गति को संरक्षित किया जाता है, तो सिस्टम के द्रव्यमान का केंद्र एक स्थिर वेग के साथ आगे बढ़ेगा, भले ही वस्तुएं स्वयं एक दूसरे से उछलती हों।
गिरती हुई कठोर वस्तु के लिए, गुरुत्वाकर्षण को उस वस्तु के द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाला माना जा सकता है, भले ही वह वस्तु घूम रही हो।
प्रोजेक्टाइल के बारे में भी यही सच है। एक हथौड़े को उछालने की कल्पना करें, और जैसे ही यह हवा में एक चाप के माध्यम से उड़ता है, यह अंत से अंत तक घूमता है। यह पहली बार में मॉडल के लिए जटिल गति की तरह लग सकता है, लेकिन यह पता चला है कि हथौड़े के द्रव्यमान का केंद्र एक अच्छे चिकने परवलयिक पथ में चलता है।
एक साधारण प्रयोग किया जा सकता है जो चमक टेप के एक छोटे टुकड़े को हथौड़े के द्रव्यमान के केंद्र में टेप करके और फिर एक अंधेरे कमरे में बताए अनुसार हथौड़े को उछालकर प्रदर्शित करता है। चमकीला टेप एक उछाली गई गेंद की तरह चिकने चाप में घूमता हुआ दिखाई देगा।
एक साधारण प्रयोग: झाड़ू के द्रव्यमान का केंद्र खोजें
एक मज़ेदार सामूहिक प्रयोग जिसे आप घर पर कर सकते हैं, में झाड़ू के द्रव्यमान के केंद्र को खोजने के लिए एक सरल तकनीक का उपयोग करना शामिल है। इस प्रयोग के लिए आपको बस एक झाड़ू और दो हाथ चाहिए।
अपने हाथों को अपेक्षाकृत दूर रखते हुए, दो सूचक अंगुलियों के सिरे पर झाड़ू को पकड़ें। फिर, धीरे-धीरे अपने हाथों को एक साथ पास लाएं, उन्हें झाड़ू के नीचे खिसकाएं। जैसे-जैसे आप अपने हाथों को एक-दूसरे के करीब ले जाते हैं, आप देख सकते हैं कि एक हाथ झाड़ू के हैंडल के नीचे की तरफ खिसकना चाहता है, जबकि दूसरा हाथ फिसलने से पहले थोड़ी देर के लिए रुका रहता है।
जब तक आपके हाथ चलते हैं, झाड़ू संतुलित रहती है। आखिरकार, जब आपके दोनों हाथ मिलते हैं, तो वे झाड़ू के द्रव्यमान के केंद्र के स्थान पर मिलेंगे।
मानव शरीर के द्रव्यमान का केंद्र
मानव शरीर के द्रव्यमान का केंद्र नाभि (बेली बटन) के पास कहीं स्थित होता है। पुरुषों में, द्रव्यमान का केंद्र थोड़ा अधिक होता है क्योंकि वे अपने ऊपरी शरीर में अधिक शरीर द्रव्यमान ले जाते हैं, और महिलाओं में, द्रव्यमान का केंद्र कम होता है क्योंकि वे अपने कूल्हों में अधिक द्रव्यमान रखते हैं।
यदि आप एक पैर पर खड़े होते हैं, तो आपका द्रव्यमान केंद्र उस पैर की तरफ शिफ्ट हो जाएगा, जिस पर आप खड़े हैं। आप स्वयं को उस ओर अधिक झुकते हुए देख सकते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि संतुलित रहने के लिए, आपके द्रव्यमान के केंद्र को उस पैर के ऊपर रहने की आवश्यकता है जिस पर आप संतुलन बना रहे हैं, अन्यथा आप झुक जाएंगे।
यदि आप एक पैर और कूल्हे के साथ एक दीवार के खिलाफ खड़े होते हैं और अपने दूसरे पैर को उठाने की कोशिश करते हैं, तो आपको यह असंभव लगेगा क्योंकि दीवार आपके वजन को बैलेंस लेग पर जाने से रोकती है।
कोशिश करने की एक और चीज दीवार पर अपनी पीठ के साथ खड़ी है और आपकी एड़ी दीवार को छू रही है। फिर आगे की ओर झुकने की कोशिश करें और अपने पैरों को झुकाए बिना फर्श को स्पर्श करें। पुरुषों की तुलना में महिलाएं इस कार्य में अधिक सफल हो सकती हैं क्योंकि उनके शरीर में उनके द्रव्यमान का केंद्र कम होता है और अंत में वे अपने पैर की उंगलियों पर आगे झुक सकते हैं।
द्रव्यमान और स्थिरता का केंद्र
किसी वस्तु के आधार के सापेक्ष द्रव्यमान केंद्र का स्थान उसकी स्थिरता को निर्धारित करता है। किसी चीज को स्थिर रूप से संतुलित माना जाता है, जब थोड़ा इत्तला दे दी जाती है और फिर छोड़ दिया जाता है, तो वह आगे बढ़ने और गिरने के बजाय अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाती है।
एक त्रि-आयामी पिरामिड आकार पर विचार करें। इसके आधार पर संतुलित होने पर यह स्थिर होता है। यदि आप एक सिरे को थोड़ा ऊपर उठाते हैं और उसे जाने देते हैं, तो वह वापस नीचे गिर जाता है। लेकिन अगर आप पिरामिड को उसके सिरे पर संतुलित करने की कोशिश करते हैं, तो सही संतुलन से कोई भी विचलन इसे गिरने का कारण बनेगा।
आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि आधार के सापेक्ष द्रव्यमान के केंद्र के स्थान को देखकर कोई वस्तु अपनी मूल स्थिति में वापस गिर जाएगी या ऊपर की ओर झुक जाएगी। एक बार जब द्रव्यमान का केंद्र आधार से आगे निकल जाता है, तो वस्तु ऊपर की ओर झुक जाएगी।
यदि आप खेल खेलते हैं, तो आप तैयार स्थिति से परिचित हो सकते हैं जहां आप एक विस्तृत रुख के साथ खड़े होते हैं और घुटनों को मोड़ते हैं। यह आपके द्रव्यमान के केंद्र को कम रखता है, और विस्तृत आधार आपको अधिक स्थिर बनाता है। इस बात पर विचार करें कि यदि आप तैयार स्थिति में हैं तो किसी को आपको टिप देने के लिए आपको कितना कठिन धक्का देना होगा। जब आप अपने पैरों को आपस में मिलाकर सीधे खड़े हों।
कुछ कारों में तीखे मोड़ आने पर पलटने की समस्या होती है। यह उनके द्रव्यमान केंद्र के स्थान के कारण है। यदि किसी वाहन के द्रव्यमान का केंद्र बहुत अधिक है और आधार पर्याप्त चौड़ा नहीं है, तो इसे पलटने में ज्यादा समय नहीं लगता है। वाहन की स्थिरता के लिए यह हमेशा सबसे अच्छा होता है कि जितना संभव हो उतना कम वजन हो।