प्रक्षेप्य गतिएक कण की गति को संदर्भित करता है जो प्रारंभिक वेग से लगाया जाता है लेकिन बाद में गुरुत्वाकर्षण के अलावा किसी भी बल के अधीन नहीं होता है।
इसमें ऐसी समस्याएं शामिल हैं जिनमें एक कण को क्षैतिज से 0 और 90 डिग्री के बीच के कोण पर फेंका जाता है, जिसमें क्षैतिज आमतौर पर जमीन होती है। सुविधा के लिए, इन प्रोजेक्टाइल को यात्रा करने के लिए माना जाता है (एक्स, वाई) विमान, साथएक्सक्षैतिज विस्थापन का प्रतिनिधित्व करते हैं औरआपऊर्ध्वाधर विस्थापन।
प्रक्षेप्य द्वारा लिए गए पथ को उसका कहा जाता हैप्रक्षेपवक्र. (ध्यान दें कि "प्रक्षेप्य" और "प्रक्षेपवक्र" में सामान्य लिंक शब्दांश "-जेक्ट", "फेंक" के लिए लैटिन शब्द है। समस्याओं में प्रक्षेप्य की उत्पत्ति का बिंदु जिसमें आपको प्रक्षेपवक्र की गणना करने की आवश्यकता होती है, आमतौर पर सादगी के लिए (0, 0) माना जाता है जब तक कि अन्यथा न हो कहा गया।
एक प्रक्षेप्य का प्रक्षेपवक्र एक परवलय है (या कम से कम एक परवलय के एक हिस्से का पता लगाता है) यदि कण लॉन्च किया जाता है इस तरह जिसमें एक गैर-क्षैतिज गति घटक है, और प्रभावित करने के लिए कोई वायु प्रतिरोध नहीं है कण।
गतिज समीकरणmatic
एक कण की गति में रुचि के चर इसकी स्थिति निर्देशांक हैंएक्सतथाआप, इसका वेगवी, और इसका त्वरणए, सभी किसी दिए गए बीता हुआ समय के संबंध मेंतोसमस्या की शुरुआत के बाद से (जब कण लॉन्च या जारी किया जाता है)। ध्यान दें कि द्रव्यमान की चूक (m) का अर्थ है कि पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण इस मात्रा से स्वतंत्र रूप से कार्य करता है।
यह भी ध्यान दें कि ये समीकरण वायु प्रतिरोध की भूमिका की उपेक्षा करते हैं, जो वास्तविक जीवन में पृथ्वी की स्थितियों में गति का विरोध करने वाला एक ड्रैग फोर्स बनाता है। यह कारक उच्च-स्तरीय यांत्रिकी पाठ्यक्रमों में पेश किया गया है।
एक सबस्क्रिप्ट "0" दिए गए वेरिएबल्स समय पर उस मात्रा के मूल्य को संदर्भित करते हैंतो= 0 और अचर हैं; अक्सर, यह मान चयनित समन्वय प्रणाली के लिए 0 धन्यवाद है, और समीकरण इतना आसान हो जाता है। त्वरण को इन समस्याओं में स्थिर माना जाता है (और y-दिशा में है और इसके बराबर है -जी,या-9.8 मी/से2, पृथ्वी की सतह के पास गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण)।
क्षैतिज गति:
x=x_0+v_xt
- अवधि
वीएक्सस्थिर x-वेग है।
लंबवत गति:
y=y_0+((v_{0y}+v_y)/2) t\\ v_y=v_{0y}-gt\\ y=y_0+v_{0y}t-(1/2)gt^2\\ v_y^ 2=v_{0y}^2-2g (y-y_0)
प्रक्षेप्य गति के उदाहरण
समस्याओं को हल करने में सक्षम होने की कुंजी जिसमें प्रक्षेपवक्र गणना शामिल है, यह जानना है कि क्षैतिज (x) और ऊर्ध्वाधर (y) घटक गति का अलग से विश्लेषण किया जा सकता है, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, और समग्र गति में उनके संबंधित योगदान को बड़े करीने से अंत में संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है संकट।
प्रक्षेप्य गति की समस्याओं को फ्री-फॉल समस्याओं के रूप में गिना जाता है, क्योंकि समय के बाद चीजें ठीक दिखती हैं,तो= 0, गतिमान वस्तु पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है।
- ध्यान रखें कि क्योंकि गुरुत्वाकर्षण नीचे की ओर कार्य करता है, और इसे ऋणात्मक y-दिशा माना जाता है, इन समीकरणों और समस्याओं में त्वरण का मान -g है।
प्रक्षेपवक्र गणना
1. बेसबॉल में सबसे तेज़ पिचर गेंद को केवल 100 मील प्रति घंटे या 45 मीटर/सेकेंड पर फेंक सकता है। यदि एक गेंद को इस गति से उर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है, तो वह कितनी ऊँची हो जाएगी और जिस बिंदु पर छोड़ी गई थी उस बिंदु पर लौटने में उसे कितना समय लगेगा?
यहाँवीy0= ४५ मी/से, -जी= -9.8 मीटर/सेकेंड, और ब्याज की मात्रा अंतिम ऊंचाई है, यावाई,और पृथ्वी पर वापस आने का कुल समय। कुल समय दो-भाग की गणना है: y तक का समय, और समय वापस y. तक0 = 0. समस्या के पहले भाग के लिए,वीआप,जब गेंद अपनी चरम ऊंचाई पर पहुंचती है, तो 0 होती है।
समीकरण का उपयोग करके प्रारंभ करेंवीआप2= वी0y2 - 2g (y - y0)और आपके पास मौजूद मूल्यों में प्लगिंग:
0 = (45)^2 - (2)(9.8)(y - 0) = 2,025 - 19.6y\मतलब y=103.3\text{ m}
समीकरणवीआप = वी0y - जीटीईदर्शाता है कि t में लगने वाला समय (45/9.8) = 4.6 सेकंड है। कुल समय प्राप्त करने के लिए, इस मान को गेंद को अपने शुरुआती बिंदु पर स्वतंत्र रूप से गिरने में लगने वाले समय में जोड़ें। यह given द्वारा दिया गया हैवाई = वाई0 + वी0yटी - (1/2)जीटी2, अभी कहाँ है, क्योंकि गेंद गिरने से पहले ही पल में है,वी0y = 0.
हल करना:
१०३.३=(१/२)gt^२\मतलब t=४.५९\पाठ{ s}
इस प्रकार कुल समय ४.५९ + ४.५९ = ९.१८ सेकंड है। शायद-आश्चर्यजनक परिणाम यह है कि यात्रा के प्रत्येक "पैर", ऊपर और नीचे, एक ही समय लेता है, इस तथ्य को रेखांकित करता है कि यहां खेलने में गुरुत्वाकर्षण ही एकमात्र बल है।
2. रेंज समीकरण:जब एक प्रक्षेप्य को वेग से प्रक्षेपित किया जाता हैवी0और एक कोण क्षैतिज से, इसमें वेग के प्रारंभिक क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक होते हैंवी0x = वी0(क्योंकि ) औरवी0y = वी0(पाप ).
चूंकिवीआप = वी0y - जीटीई, तथावीआप = 0 जब प्रक्षेप्य अपनी अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचता है, तो अधिकतम ऊँचाई का समय t =. द्वारा दिया जाता हैवी0y/g. समरूपता के कारण, इसे जमीन पर वापस आने में लगने वाला समय (या y = y .)0) बस 2t = 2. हैवी0y/जी.
अंत में, इन्हें संबंध x = relationship के साथ जोड़करवी0xt, प्रक्षेपण कोण दिए जाने पर तय की गई क्षैतिज दूरी है
R=2\frac{v_0^2\sin{\theta}\cos{\theta}}{g}=\frac{v_0^2\sin{2\theta}}{g}
(अंतिम चरण त्रिकोणमितीय पहचान 2 sinθ cosθ = sin 2θ से आता है।)
चूँकि sin2θ अपने अधिकतम मान 1 पर होता है जब = 45 डिग्री, इस कोण का उपयोग करके किसी दिए गए वेग के लिए क्षैतिज दूरी को अधिकतम किया जाता है
आर=\frac{v_0^2}{g}