"साइन" एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाओं के अनुपात के लिए गणित का आशुलिपि है, जिसे भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है: विपरीत पक्ष आप जिस भी कोण को माप रहे हैं वह भिन्न का अंश है, और समकोण त्रिभुज का कर्ण है हर। एक बार जब आप इस अवधारणा में महारत हासिल कर लेते हैं तो यह एक सूत्र के लिए एक बिल्डिंग ब्लॉक बन जाता है जिसे साइन्स का नियम कहा जाता है, जिसका उपयोग खोजने के लिए किया जा सकता है एक त्रिभुज के कोण और भुजाएँ गायब हैं, जब तक आप इसके कम से कम दो कोणों और एक भुजा, या दो भुजाओं और एक को जानते हैं कोण।
साइन्स के नियम का पुनरावर्तन
ज्या का नियम आपको बताता है कि किसी त्रिभुज के कोण का उसकी सम्मुख भुजा से अनुपात त्रिभुज के तीनों कोणों के लिए समान होगा। या, इसे दूसरे तरीके से रखने के लिए:
पाप (ए) /ए = पाप (बी) /ख = पाप (सी) /सी, जहाँ A, B और C त्रिभुज के कोण हैं, तथा ए, बी तथा सी उन कोणों के विपरीत भुजाओं की लंबाई हैं।
लापता कोणों को खोजने के लिए यह फॉर्म सबसे उपयोगी है। यदि आप ज्या के नियम का उपयोग करके त्रिभुज की एक भुजा की लुप्त लंबाई ज्ञात कर रहे हैं, तो आप इसे हर में ज्या के साथ भी लिख सकते हैं:
ए/पाप (ए) = ख/पाप (बी) = सी/sin(C)
ज्या के नियम के साथ एक लापता कोण ढूँढना
कल्पना कीजिए कि आपके पास एक ज्ञात कोण वाला एक त्रिभुज है - मान लीजिए कि कोण A का माप 30 डिग्री है। आप त्रिभुज की दो भुजाओं का माप भी जानते हैं: भुजा ए, जो सम्मुख कोण A है, 4 इकाई मापता है, और भुजा ख उपाय 6 इकाइयों।
ज्या के नियम के अस्पष्ट मामले से सावधान रहें, जो उत्पन्न हो सकता है यदि आप हैं, जैसा कि इस समस्या में, दो पक्षों की लंबाई और एक कोण जो उनके बीच नहीं है, दिया गया है। अस्पष्ट मामला केवल एक चेतावनी है कि परिस्थितियों के इस विशिष्ट सेट में, चुनने के लिए दो संभावित उत्तर हो सकते हैं। आपको पहले से ही एक संभावित उत्तर मिल गया है। किसी अन्य संभावित उत्तर का विश्लेषण करने के लिए, 180 डिग्री से अभी-अभी मिले कोण को घटाएं। परिणाम को आपके पास पहले ज्ञात कोण में जोड़ें। यदि परिणाम 180 डिग्री से कम है, तो वह "परिणाम" जिसे आपने अभी पहले ज्ञात कोण में जोड़ा है, दूसरा संभावित समाधान है।
सभी ज्ञात जानकारी को ज्या के नियम के पहले रूप में इनपुट करें, जो लापता कोणों को खोजने के लिए सबसे अच्छा है:
पाप (30)/4 = पाप (बी)/6 = पाप (सी)/सी
अगला, एक लक्ष्य चुनें; इस स्थिति में कोण B का माप ज्ञात कीजिए।
समस्या को सेट करना उतना ही सरल है जितना कि इस समीकरण के पहले और दूसरे भाव को एक दूसरे के बराबर सेट करना। अभी तीसरे कार्यकाल को लेकर चिंता करने की जरूरत नहीं है। मतलब आपके पास है:
पाप (30)/4 = पाप (बी)/6
ज्ञात कोण की ज्या ज्ञात करने के लिए कैलकुलेटर या चार्ट का उपयोग करें। इस मामले में, पाप (30) = 0.5, तो आपके पास है:
(०.५) / ४ = पाप (बी) / ६, जो सरल करता है:
0.125 = पाप (बी)/6
अज्ञात कोण के साइन माप को अलग करने के लिए समीकरण के प्रत्येक पक्ष को 6 से गुणा करें। यह आपको देता है:
0.75 = पाप (बी)
अपने कैलकुलेटर या टेबल का उपयोग करके, अज्ञात कोण की व्युत्क्रम ज्या या चाप का पता लगाएं। इस मामले में, 0.75 की प्रतिलोम ज्या लगभग 48.6 डिग्री है।
चेतावनी
सीन्स के कानून के साथ एक पक्ष ढूँढना
कल्पना कीजिए कि आपके पास 15 और 30 डिग्री के ज्ञात कोणों वाला त्रिभुज है (चलिए उन्हें क्रमशः ए और बी कहते हैं), और पक्ष की लंबाई ए, जो सम्मुख कोण A है, 3 इकाई लंबा है।
जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, त्रिभुज के तीनों कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री तक होता है। इसलिए यदि आप दो कोणों को पहले से ही जानते हैं, तो आप ज्ञात कोणों को 180 से घटाकर तीसरे कोण का माप ज्ञात कर सकते हैं:
१८० - १५ - ३० = १३५ डिग्री
अतः लुप्त कोण 135 डिग्री है।
दूसरे फॉर्म का उपयोग करके, जो जानकारी आप पहले से जानते हैं उसे साइन फॉर्मूला के नियम में भरें (जो लापता पक्ष की गणना करते समय सबसे आसान है):
3/पाप (15) = ख/पाप (30) = सी/sin(135)
चुनें कि आप किस लापता पक्ष की लंबाई का पता लगाना चाहते हैं। इस स्थिति में, सुविधा के लिए, भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए बी
समस्या को स्थापित करने के लिए, आप ज्या के नियम में दिए गए दो ज्या सम्बन्धों को चुनेंगे: एक जिसमें आपका लक्ष्य (पक्ष) है ख) और जिसके लिए आप पहले से ही सभी जानकारी जानते हैं (वह पक्ष है ए और कोण ए)। उन दो साइन संबंधों को एक दूसरे के बराबर सेट करें:
3/पाप (15) = ख/sin(30)
अब हल करें solve ख. पाप (15) और पाप (30) के मान ज्ञात करने के लिए अपने कैलकुलेटर या तालिका का उपयोग करके प्रारंभ करें और उन्हें भरें अपने समीकरण में (इस उदाहरण के लिए, 0.5 के बजाय 1/2 अंश का उपयोग करें), जो देता है आप:
3/0.2588 = ख/(1/2)
ध्यान दें कि आपका शिक्षक आपको बताएगा कि आपके साइन मूल्यों को कितनी दूर (और यदि) गोल करना है। वे आपसे साइन फ़ंक्शन के सटीक मान का उपयोग करने के लिए भी कह सकते हैं, जो पाप (15) के मामले में बहुत गन्दा (√6 – √2)/4 है।
इसके बाद, समीकरण के दोनों पक्षों को सरल बनाएं, याद रखें कि किसी भिन्न से भाग देना उसके व्युत्क्रम से गुणा करने के समान है:
११.५९२० = २_बी_
सुविधा के लिए समीकरण के पक्षों को स्विच करें, क्योंकि चर आमतौर पर बाईं ओर सूचीबद्ध होते हैं:
२_बी_ = ११.५९२०
और अंत में, के लिए हल करना समाप्त करें बी इस मामले में, आपको केवल समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करना है, जो आपको देता है:
ख = 5.7960
तो आपके त्रिभुज की लुप्त भुजा 5.7960 इकाई लंबी है। आप पक्ष के लिए हल करने के लिए उसी प्रक्रिया का आसानी से उपयोग कर सकते हैं सी, पक्ष के पद के बराबर ज्या के नियम में अपना कार्यकाल निर्धारित करना ए, क्योंकि आप पहले से ही उस पक्ष की पूरी जानकारी जानते हैं।