केंद्रीय कोण कैसे खोजें

कल्पना कीजिए कि आप पूरी तरह से गोलाकार क्षेत्र के बीच में खड़े हैं। आप अखाड़े के किनारे भीड़ की ओर देखते हैं, और आप अपने सबसे अच्छे दोस्त को एक सीट पर और अपने मिडिल स्कूल के गणित शिक्षक को कुछ वर्गों में देखते हैं। उनमें और आपके बीच कितनी दूरी है? आपको अपने मित्र की सीट से शिक्षक की सीट तक जाने के लिए कितनी दूर चलना होगा? आपके बीच के कोणों की माप क्या है? ये सभी केंद्रीय कोण से संबंधित प्रश्न हैं।

ए केंद्रीय कोण वह कोण है जो तब बनता है जब वृत्त के केंद्र से उसके किनारों तक दो त्रिज्याएँ खींची जाती हैं। इस उदाहरण में, दो त्रिज्याएँ आपकी दृष्टि की दो रेखाएँ हैं, अखाड़े के केंद्र में, आपके मित्र के लिए, और आपकी दृष्टि की रेखा आपके शिक्षक के लिए। इन दोनों रेखाओं के बीच जो कोण बनता है वह केंद्रीय कोण होता है। यह वृत्त के केंद्र के सबसे निकट का कोण है।

आपका दोस्त और आपका शिक्षक साथ बैठे हैं परिधि या सर्कल के किनारों। अखाड़े के साथ का मार्ग जो उन्हें जोड़ता है वह है a आर्क.

केंद्रीय कोण को खोजने के लिए आप कुछ समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं। कभी-कभी आपको मिल जाएगा

(चाप की लंबाई) परिधि = (केंद्रीय कोण) 360°

केंद्रीय कोण डिग्री में होगा।

यदि आप इसके बारे में सोचते हैं तो यह सूत्र समझ में आता है। वृत्त (परिधि) के चारों ओर की कुल लंबाई में से चाप की लंबाई एक वृत्त (360 डिग्री) में कुल कोण से चाप के कोण के समान अनुपात है।

इस समीकरण का प्रभावी ढंग से उपयोग करने के लिए, आपको वृत्त की परिधि को जानना होगा। लेकिन यदि आप केंद्रीय कोण और परिधि को जानते हैं तो आप चाप की लंबाई ज्ञात करने के लिए भी इस सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। या, यदि आपके पास चाप की लंबाई और केंद्रीय कोण है, तो आप परिधि पा सकते हैं!

आप केंद्रीय कोण को खोजने के लिए वृत्त की त्रिज्या और चाप की लंबाई का भी उपयोग कर सकते हैं। केंद्रीय कोण के माप को कहें। फिर:

= एसर, जहां s चाप की लंबाई है और r त्रिज्या है। रेडियन में मापा जाता है।

फिर से, आप अपने पास मौजूद जानकारी के आधार पर इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं। आप त्रिज्या और केंद्रीय कोण से चाप की लंबाई का पता लगा सकते हैं। या आप त्रिज्या पा सकते हैं यदि आपके पास केंद्रीय कोण और चाप की लंबाई है।

यदि आप चाप की लंबाई चाहते हैं, तो समीकरण इस तरह दिखता है:

एस =* र, जहां s चाप की लंबाई है, r त्रिज्या है, और रेडियन में केंद्रीय कोण है।

आइए आपके उदाहरण में एक मोड़ जोड़ें जहां आप अपने पड़ोसी और अपने शिक्षक के साथ मैदान में हैं। अब एक तीसरा व्यक्ति है जिसे आप अखाड़े में जानते हैं: आपका पड़ोसी। और एक और बात: वे तुम्हारे पीछे हैं। उन्हें देखने के लिए आपको मुड़ना होगा।

आपका पड़ोसी आपके मित्र और आपके शिक्षक से लगभग अखाड़े के पार है। आपके पड़ोसी के दृष्टिकोण से, उनके मित्र के प्रति उनकी दृष्टि रेखा और शिक्षक के लिए उनकी दृष्टि रेखा से एक कोण बनता है। इसे एक उत्कीर्ण कोण कहा जाता है। एक खुदा हुआ कोण एक वृत्त की परिधि के अनुदिश तीन बिंदुओं द्वारा निर्मित कोण है।

सेंट्रल एंगल थ्योरम आपके द्वारा बनाए गए केंद्रीय कोण के आकार और आपके पड़ोसी द्वारा बनाए गए खुदा कोण के बीच के संबंध की व्याख्या करता है। केंद्रीय कोण प्रमेय कहा गया है कि केंद्रीय कोण खुदा हुआ कोण का दोगुना है. (यह मानता है कि आप समान समापन बिंदुओं का उपयोग कर रहे हैं। आप शिक्षक और मित्र दोनों को देख रहे हैं, किसी और को नहीं)।

इसे लिखने का एक और तरीका यहां दिया गया है। आइए आपके मित्र की सीट A, आपके शिक्षक की सीट B और आपके पड़ोसी की सीट C को कॉल करें। आप, केंद्र में, O हो सकते हैं।

तो, एक वृत्त की परिधि के साथ तीन बिंदुओं A, B और C के लिए और केंद्र पर बिंदु O के लिए, केंद्रीय कोण ∠AOC खुदा हुआ कोण ABC का दोगुना है।

अर्थात्, AOC = 2∠ABC।

यह कुछ समझ में आता है। आप मित्र और शिक्षक के अधिक निकट हैं, इसलिए वे आपके लिए और अधिक अलग दिखते हैं (एक बड़ा कोण)। स्टेडियम के दूसरी तरफ आपके पड़ोसी के लिए, वे एक साथ बहुत करीब दिखते हैं (एक छोटा कोण)।

अब, चीजों को ऊपर शिफ्ट करते हैं। अखाड़े के दूर स्थित आपका पड़ोसी इधर-उधर घूमने लगता है! उनके पास अभी भी मित्र और शिक्षक की दृष्टि है, लेकिन जैसे-जैसे पड़ोसी चलता है, रेखाएँ और कोण बदलते रहते हैं। क्या लगता है: जब तक पड़ोसी दोस्त और पड़ोसी के बीच चाप के बाहर रहता है, सेंट्रल एंगल थ्योरम अभी भी सही है!

लेकिन क्या होता है जब पड़ोसी चलता है के बीच दोस्त और शिक्षक? अब आपका पड़ोसी अंदर है लघु चाप, मित्र और शिक्षक के बीच अपेक्षाकृत कम दूरी, बाकी अखाड़े के आसपास की बड़ी दूरी की तुलना में। तब आप सेंट्रल एंगल थ्योरम के अपवाद पर पहुंच जाते हैं।

केंद्रीय कोण प्रमेय के अपवाद बताता है कि जब बिंदु C, पड़ोसी, लघु चाप के अंदर होता है, तो खुदा हुआ कोण आधे केंद्रीय कोण का पूरक होता है। (याद रखें कि एक कोण और उसका परिशिष्ट 180 डिग्री में जोड़ें।)

इसलिए: खुदा हुआ कोण = 180 - (केंद्रीय कोण ÷ 2)

या: ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)

मैथ ओपन रेफरेंस में सेंट्रल एंगल थ्योरम और उसके अपवाद की कल्पना करने के लिए एक टूल है। आप "पड़ोसी" को सर्कल के सभी अलग-अलग हिस्सों में खींच सकते हैं और कोणों को बदलते हुए देख सकते हैं। यदि आप एक दृश्य या अतिरिक्त अभ्यास चाहते हैं तो इसे आज़माएं!