कभी-कभी "घातीय वृद्धि" केवल भाषण का एक आंकड़ा होता है, जो किसी भी चीज का संदर्भ होता है जो अनुचित रूप से या अविश्वसनीय रूप से तेज़ी से बढ़ता है। लेकिन कुछ मामलों में, आप घातीय वृद्धि का विचार शाब्दिक रूप से ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, खरगोशों की आबादी तेजी से बढ़ सकती है क्योंकि प्रत्येक पीढ़ी बढ़ती है, फिर उनकी संतान बढ़ती है, और इसी तरह। व्यवसाय या व्यक्तिगत आय में भी तेजी से वृद्धि हो सकती है। जब आपको घातीय वृद्धि की वास्तविक दुनिया की गणना करने के लिए कहा जाता है, तो आप जानकारी के तीन टुकड़ों के साथ काम करेंगे: प्रारंभिक मूल्य, विकास दर (या क्षय), और समय।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
घातीय वृद्धि की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें आप(तो) = a__eके.टी., कहां है ए शुरुआत में मूल्य है, क विकास या क्षय की दर है, तो समय है और आप(तो) समय पर जनसंख्या का मूल्य है तो.
कल्पना कीजिए कि एक वैज्ञानिक बैक्टीरिया की एक नई प्रजाति के विकास का अध्ययन कर रहा है। जबकि वह जनसंख्या वृद्धि कैलकुलेटर में प्रारंभिक मात्रा, वृद्धि की दर और समय के मूल्यों को इनपुट कर सकता है, उसने मैन्युअल रूप से बैक्टीरिया की आबादी की वृद्धि दर की गणना करने का निर्णय लिया है।
अपने सूक्ष्म रिकॉर्ड को देखते हुए, वैज्ञानिक देखता है कि उसकी शुरुआती आबादी 50 बैक्टीरिया थी। पांच घंटे बाद, उन्होंने 550 बैक्टीरिया को मापा।
घातीय वृद्धि या क्षय के लिए वैज्ञानिक की जानकारी को समीकरण में इनपुट करना, आप(तो) = a__eके.टी., वह रखता है:
५५० = ५०_ईक_5
समीकरण में एकमात्र अज्ञात बचा है क, या घातीय वृद्धि की दर।
हल करना शुरू करने के लिए क, पहले समीकरण के दोनों पक्षों को 50 से विभाजित करें। यह आपको देता है:
५५०/५० = (५०_eक_5)/50, जो इसे सरल करता है:
11 = इ_k_5
इसके बाद, दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें, जिसे ln (एक्स). यह आपको देता है:
एलएन (11) = एलएन (इ_k_5)
प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्क्रम कार्य है इएक्स, इसलिए यह प्रभावी रूप से "पूर्ववत" करता है इएक्स समीकरण के दाईं ओर कार्य करें, आपको छोड़कर:
एलएन (11) = _k_5
इसके बाद, चर को अलग करने के लिए दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करें, जो आपको देता है:
क = एलएन (11)/5
अब आप बैक्टीरिया की इस आबादी के लिए घातीय वृद्धि की दर जानते हैं: क = एलएन (11)/5. यदि आप इस जनसंख्या के साथ आगे की गणना करने जा रहे हैं - उदाहरण के लिए, वृद्धि की दर को समीकरण में जोड़ना और जनसंख्या के आकार का अनुमान लगाना तो = 10 घंटे - इस रूप में उत्तर छोड़ना सबसे अच्छा है। लेकिन अगर आप आगे की गणना नहीं कर रहे हैं, तो आप 0.479579 का अनुमानित मूल्य प्राप्त करने के लिए उस मान को एक घातीय फ़ंक्शन कैलकुलेटर - या अपने वैज्ञानिक कैलकुलेटर में इनपुट कर सकते हैं। अपने प्रयोग के सटीक मापदंडों के आधार पर, गणना या अंकन में आसानी के लिए आप इसे 0.48/घंटा तक सीमित कर सकते हैं।
टिप्स
यदि आपकी विकास दर 1 से कम होनी है, तो यह आपको बताता है कि जनसंख्या घट रही है। इसे क्षय की दर या घातीय क्षय की दर के रूप में जाना जाता है।
