श्रोडिंगर समीकरण क्वांटम यांत्रिकी में सबसे मौलिक समीकरण है, और इसका उपयोग कैसे करना है और इसका क्या अर्थ है यह सीखना किसी भी नवोदित भौतिक विज्ञानी के लिए आवश्यक है। समीकरण का नाम इरविन श्रोडिंगर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने क्वांटम भौतिकी में उनके योगदान के लिए 1933 में पॉल डिराक के साथ नोबेल पुरस्कार जीता था।
श्रोडिंगर का समीकरण क्वांटम यांत्रिक प्रणाली के तरंग कार्य का वर्णन करता है, जो देता है एक कण के स्थान के बारे में संभाव्य जानकारी और अन्य अवलोकन योग्य मात्रा जैसे कि गति। समीकरण के बारे में जानने के बाद आप क्वांटम यांत्रिकी के बारे में सबसे महत्वपूर्ण बात यह महसूस करेंगे कि क्वांटम क्षेत्र में कानून हैंबहुत अलगशास्त्रीय यांत्रिकी से।
लहर समारोह
क्वांटम यांत्रिकी में तरंग फ़ंक्शन सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है, क्योंकि प्रत्येक कण एक तरंग फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है। इसे आमतौर पर ग्रीक अक्षर साई (साई) दिया जाता है।Ψ), और यह स्थिति और समय पर निर्भर करता है। जब आपके पास किसी कण के तरंग फलन के लिए व्यंजक होता है, तो यह आपको वह सब कुछ बताता है जिसके बारे में जाना जा सकता है भौतिक प्रणाली, और देखने योग्य मात्रा के लिए विभिन्न मूल्यों को एक ऑपरेटर को लागू करके प्राप्त किया जा सकता है यह।
तरंग फ़ंक्शन के मापांक का वर्ग आपको एक स्थिति में कण को खोजने की संभावना बताता हैएक्सएक निश्चित समय परतो. यह केवल तभी होता है जब फ़ंक्शन "सामान्यीकृत" होता है, जिसका अर्थ है कि सभी संभावित स्थानों पर वर्ग मापांक का योग 1 के बराबर होना चाहिए, अर्थात कण हैकुछस्थित होना चाहिएकहीं.
ध्यान दें कि तरंग फ़ंक्शन केवल संभाव्य जानकारी प्रदान करता है, और इसलिए आप किसी एक अवलोकन के परिणाम की भविष्यवाणी नहीं कर सकते, हालांकि आपकर सकते हैंकई मापों पर औसत निर्धारित करें।
की गणना करने के लिए आप तरंग फलन का उपयोग कर सकते हैं"उम्मीद मूल्य"समय पर कण की स्थिति के लिएतो, उम्मीद मूल्य के औसत मूल्य के साथएक्सयदि आप माप को कई बार दोहराते हैं तो आप प्राप्त करेंगे।
फिर, यह आपको किसी विशेष माप के बारे में कुछ नहीं बताता है। वास्तव में, तरंग फ़ंक्शन किसी भी ठोस और विश्वसनीय की तुलना में एकल कण के लिए संभाव्यता वितरण से अधिक है। उपयुक्त ऑपरेटर का उपयोग करके, आप संवेग, ऊर्जा और अन्य अवलोकन योग्य मात्राओं के लिए अपेक्षा मान भी प्राप्त कर सकते हैं।
श्रोडिंगर समीकरण
श्रोडिंगर समीकरण रैखिक आंशिक अंतर समीकरण है जो a. के विकास का वर्णन करता है न्यूटन के नियमों के समान क्वांटम अवस्था (विशेष रूप से दूसरा नियम) शास्त्रीय में यांत्रिकी
हालांकि, श्रोडिंगर समीकरण प्रश्न में कण के तरंग कार्य के लिए एक तरंग समीकरण है, और इसलिए भविष्य की स्थिति की भविष्यवाणी करने के लिए समीकरण का उपयोग एक प्रणाली को कभी-कभी "लहर यांत्रिकी" कहा जाता है। समीकरण स्वयं ऊर्जा के संरक्षण से प्राप्त होता है और एक संचालिका के इर्द-गिर्द निर्मित होता है जिसे कहा जाता है हैमिल्टनियन।
श्रोडिंगर समीकरण का सबसे सरल रूप लिखने के लिए है:
एच Ψ = आईℏ \frac{\आंशिकΨ}{\आंशिक टी}
जहां घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है (अर्थात स्थिरांक को 2π से विभाजित किया जाता है) औरएचहैमिल्टनियन ऑपरेटर है, जो क्वांटम सिस्टम की संभावित ऊर्जा और गतिज ऊर्जा (कुल ऊर्जा) के योग से मेल खाता है। हैमिल्टनियन अपने आप में एक काफी लंबी अभिव्यक्ति है, हालांकि, पूर्ण समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
−\frac{ ℏ^2}{2m} \frac{\partial^2 Ψ}{\partial x^2} + V(x) Ψ == iℏ \frac{\partialΨ}{\partial t}
यह देखते हुए कि कभी-कभी (स्पष्ट रूप से त्रि-आयामी समस्याओं के लिए), पहला आंशिक व्युत्पन्न लैप्लासियन ऑपरेटर ∇. के रूप में लिखा जाता है2. अनिवार्य रूप से, हैमिल्टनियन अंतरिक्ष और समय में इसके विकास का वर्णन करने के लिए तरंग फ़ंक्शन पर कार्य करता है। लेकिन समीकरण के समय-स्वतंत्र संस्करण में (यानी जब सिस्टम निर्भर नहीं करता हैतो), हैमिल्टन प्रणाली की ऊर्जा देता है।
श्रोडिंगर समीकरण को हल करने का अर्थ हैक्वांटम यांत्रिक तरंग समारोहजो इसे किसी विशेष स्थिति के लिए संतुष्ट करता है।
समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण
समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण पिछले खंड का संस्करण है, और यह समय और स्थान में एक कण के लिए तरंग फ़ंक्शन के विकास का वर्णन करता है। विचार करने के लिए एक साधारण मामला एक मुक्त कण है क्योंकि संभावित ऊर्जावी= 0, और विलयन एक समतल तरंग का रूप ले लेता है। इन समाधानों का रूप है:
Ψ = एई^{केएक्स −ωt}
कहा पेक = 2π / λ, λतरंग दैर्ध्य है, औरω = इ / ℏ.
अन्य स्थितियों के लिए, मूल समीकरण का संभावित ऊर्जा भाग. के लिए सीमा स्थितियों का वर्णन करता है तरंग फ़ंक्शन का स्थानिक हिस्सा, और इसे अक्सर समय-विकास फ़ंक्शन और समय-स्वतंत्र में विभाजित किया जाता है समीकरण
समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण
स्थिर स्थितियों या समाधानों के लिए जो स्थायी तरंगें बनाते हैं (जैसे संभावित कुएं, "एक बॉक्स में कण" शैली समाधान), आप तरंग फ़ंक्शन को समय और स्थान भागों में अलग कर सकते हैं:
(एक्स, टी) = Ψ(एक्स) एफ (टी)
जब आप इसे पूरी तरह से पढ़ लेते हैं, तो श्रोडिंगर समीकरण का एक रूप छोड़कर, समय भाग को रद्द किया जा सकता हैकेवलकण की स्थिति पर निर्भर करता है। समय स्वतंत्र तरंग फलन तब दिया जाता है:
एच Ψ (एक्स) = ई Ψ (एक्स)
यहाँइक्वांटम यांत्रिक प्रणाली की ऊर्जा है, औरएचहैमिल्टनियन ऑपरेटर है। समीकरण का यह रूप तरंग फ़ंक्शन के साथ, एक आइजनवैल्यू समीकरण का सटीक रूप लेता है जब हैमिल्टनियन ऑपरेटर लागू किया जाता है, तो आइजनफंक्शन होने के नाते, और ऊर्जा का आइजनवैल्यू होता है इसके लिए। हैमिल्टनियन को अधिक स्पष्ट रूप में विस्तारित करते हुए, इसे पूर्ण रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:
−\frac{ ℏ^2}{2m} \frac{\partial^2 Ψ}{\आंशिक x^2} + V(x) Ψ = E Ψ(x)
समीकरण का समय भाग फ़ंक्शन में निहित है:
एफ (टी) = ई^{\frac{iEt}{ℏ}}
समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण के समाधान
समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण खुद को काफी सरल समाधानों के लिए उधार देता है क्योंकि यह समीकरण के पूर्ण रूप को कम करता है। इसका एक आदर्श उदाहरण समाधान का "कण में एक बॉक्स" समूह है जहां कण को एक आयाम में अनंत वर्ग क्षमता में माना जाता है, इसलिए शून्य क्षमता होती है (यानी।वी= 0) भर में, और कण के कुएं के बाहर पाए जाने की कोई संभावना नहीं है।
एक परिमित वर्ग कुआँ भी है, जहाँ कुएँ की "दीवारों" पर क्षमता अनंत नहीं है और भले ही यह कण की ऊर्जा से अधिक हो, वहाँ हैकुछक्वांटम टनलिंग के कारण इसके बाहर के कण को खोजने की संभावना। अनंत क्षमता के लिए, समाधान रूप लेते हैं:
Ψ(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \bigg(\frac{nπ}{L}x\bigg)
कहा पेलीकुएं की लंबाई है।
एक डेल्टा फ़ंक्शन क्षमता चौड़ाई के अलावा, संभावित कुएं के लिए एक बहुत ही समान अवधारणा हैलीशून्य पर जा रहा है (अर्थात एक बिंदु के आसपास असीम रूप से) और कुएं की गहराई अनंत तक जा रही है, जबकि दोनों का गुणनफल (यू0) स्थिर रहता है। इस आदर्श स्थिति में, केवल एक बाध्य अवस्था है, जो इसके द्वारा दी गई है:
Ψ(x) = \frac{\sqrt{mU_0}}{ℏ}e^{-\frac{mU_0}{ℏ^2}\vert x\vert}
ऊर्जा के साथ:
ई = - \frac{mU_0^2}{2ℏ^2}
श्रोडिंगर समीकरण का हाइड्रोजन परमाणु समाधान
अंत में, हाइड्रोजन परमाणु समाधान में वास्तविक दुनिया भौतिकी के लिए स्पष्ट अनुप्रयोग हैं, लेकिन व्यवहार में स्थिति हाइड्रोजन परमाणु के नाभिक के चारों ओर एक इलेक्ट्रॉन के लिए संभावित कुएं के समान ही देखा जा सकता है समस्या। हालांकि, स्थिति त्रि-आयामी है और गोलाकार निर्देशांक में सबसे अच्छी तरह वर्णित हैआर, θ, ϕ. इस मामले में समाधान द्वारा दिया गया है:
Ψ(x) = NR_{n, l}(r) P^m_{l}(\cos θ)e^{imϕ}
कहा पेपीलीजेंड्रे बहुपद हैं,आरविशिष्ट रेडियल समाधान हैं, औरनहींएक स्थिरांक है जिसे आप इस तथ्य का उपयोग करके ठीक करते हैं कि तरंग फ़ंक्शन को सामान्यीकृत किया जाना चाहिए। समीकरण द्वारा दिए गए ऊर्जा स्तर प्राप्त होते हैं:
ई = - \frac{\mu Z^2e^4}{8ϵ_0h^2n^2}
कहा पेजेडयहाँ परमाणु क्रमांक है (इसलिएजेड= 1 हाइड्रोजन परमाणु के लिए),इइस मामले में एक इलेक्ट्रॉन का आवेश होता है (स्थिरांक के बजाय)इ = 2.7182818...), ϵ0 मुक्त स्थान की पारगम्यता है, औरμकम द्रव्यमान है, जो हाइड्रोजन परमाणु में प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान पर आधारित होता है। यह अभिव्यक्ति किसी भी हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए अच्छी है, जिसका अर्थ है कि कोई भी स्थिति (आयनों सहित) जहां एक इलेक्ट्रॉन केंद्रीय नाभिक की परिक्रमा कर रहा हो।