क्या होता है जब आप किसी संख्या को भिन्न में बढ़ाते हैं?

जब आप "किसी संख्या को घात में बढ़ाते हैं," तो आप संख्या को स्वयं से गुणा कर रहे होते हैं, और "शक्ति" यह दर्शाती है कि आप ऐसा कितनी बार करते हैं। तो 2 को तीसरी घात तक बढ़ाए जाने पर 2 x 2 x 2 के समान होता है, जो 8 के बराबर होता है। हालाँकि, जब आप किसी संख्या को भिन्न में बढ़ाते हैं, तो आप विपरीत दिशा में जा रहे होते हैं -- आप संख्या का "मूल" ढूँढ़ने का प्रयास कर रहे होते हैं।

किसी संख्या को घात तक बढ़ाने के लिए गणितीय शब्द "घातांक" है। एक घातांकीय व्यंजक के दो भाग होते हैं: आधार, जो है आप जो संख्या बढ़ा रहे हैं, और प्रतिपादक, जो "शक्ति" है। तो जब आप २ को ३ की शक्ति तक बढ़ाते हैं, तो आधार २ होता है और घातांक 3 है आधार को दूसरी शक्ति तक बढ़ाने को आमतौर पर आधार का वर्ग करना कहा जाता है, जबकि इसे तीसरी शक्ति तक बढ़ाने को आमतौर पर आधार को घन करना कहा जाता है। गणितज्ञ आमतौर पर सुपरस्क्रिप्ट में घातांक के साथ घातीय अभिव्यक्ति लिखते हैं - अर्थात, आधार के ऊपरी दाईं ओर एक छोटी संख्या के रूप में। चूँकि कुछ कंप्यूटर, कैलकुलेटर और अन्य उपकरण सुपरस्क्रिप्ट को बहुत अच्छी तरह से संभाल नहीं पाते हैं, घातांकीय भाव भी आमतौर पर इस तरह लिखे जाते हैं: 2^3। कैरेट - ऊपर की ओर इंगित करने वाला प्रतीक - आपको बताता है कि घातांक क्या है।

गणित में, "जड़ें" कुछ हद तक प्रतिपादक की तरह होती हैं। उदाहरण के लिए, "2 to the 4th power" लें, जिसे 2^4 के रूप में संक्षिप्त किया गया है। यह 2 x 2 x 2 x 2, या 16 के बराबर है। चूँकि 2 का अपने आप से चार गुना गुणा 16 के बराबर होता है, 16 का "चौथा मूल" 2 होता है। अब संख्या 729 को देखें। यह 9 x 9 x 9 तक टूट जाता है - इसलिए 9 729 का तीसरा मूल है। यह 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 तक भी टूट जाता है - इसलिए 3 729 का छठा मूल है। किसी संख्या के दूसरे मूल को सामान्यतः कहा जाता है वर्गमूल, और तीसरा मूल है घनमूल.

जब घातांक एक भिन्न होता है, तो आप आधार के मूल की तलाश कर रहे होते हैं। जड़ भिन्न के हर से मेल खाती है। उदाहरण के लिए, "125 को 1/3 शक्ति तक बढ़ा दिया गया" या 125^1/3 लें। भिन्न का हर 3 है, इसलिए आप 125 का तीसरा मूल (या घनमूल) ढूंढ रहे हैं। क्योंकि 5 x 5 x 5 = 125, 125 का तीसरा मूल 5 है। अत: 125^1/3 = 5. अब 256^1/4 का प्रयास करें। आप 256 के चौथे रूट की तलाश कर रहे हैं। चूँकि 4 x 4 x 4 x 4 = 256, उत्तर 4 है।

भिन्नात्मक घातांक इस बिंदु पर चर्चा की गई - 1/3 और 1/4 - क्या प्रत्येक का अंश 1 है। यदि अंश 1 के अलावा कुछ और है, तो घातांक वास्तव में आपको दो ऑपरेशन करने का निर्देश दे रहा है: एक रूट खोजना और एक घात बढ़ाना। उदाहरण के लिए, 8^2/3 लें। हर "3" आपको बताता है कि आप एक घनमूल की तलाश कर रहे हैं; अंश "2" आपको बताता है कि आप दूसरी शक्ति तक बढ़ेंगे। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप पहले कौन सा ऑपरेशन करते हैं। आपको किसी भी तरह से वही परिणाम मिलेगा। तो आप 8 का तीसरा मूल लेकर शुरू कर सकते हैं, जो 2 है, और फिर उसे दूसरी शक्ति तक बढ़ा सकते हैं, जो आपको 4 देगा। या आप 8 को दूसरी घात तक बढ़ा सकते हैं, जो 64 के बराबर है, और फिर उस संख्या का तीसरा मूल लें, जो कि 4 है। वही परिणाम।

वास्तव में, "शक्ति के रूप में अंश, जड़ के रूप में भाजक" का नियम सभी घातांक पर लागू होता है - यहां तक ​​कि पूर्ण-संख्या वाले घातांक और 1 के अंश वाले भिन्नात्मक घातांक। उदाहरण के लिए, पूर्ण संख्या 2 भिन्न 2/1 के बराबर है। तो घातीय अभिव्यक्ति 9^2 "वास्तव में" 9^2/1 है। 9 को दूसरी शक्ति तक बढ़ाने से आपको 81 मिलता है। अब आपको 81 का "पहला रूट" प्राप्त करना होगा। लेकिन किसी भी संख्या का पहला मूल वह संख्या ही होती है, इसलिए उत्तर 81 रहता है। अब व्यंजक 9^1/2 को देखें। आप 9 को "पहली शक्ति" तक बढ़ाकर शुरू कर सकते हैं। लेकिन किसी भी संख्या को पहली घात तक बढ़ाए जाने पर वह संख्या ही होती है। तो आपको केवल 9 का वर्गमूल निकालना है, जो कि 3 है। नियम अभी भी लागू होता है, लेकिन इन स्थितियों में, आप एक कदम छोड़ सकते हैं।