एक बार जब आप त्रिकोणमिति और कलन करना शुरू कर देते हैं, तो आप पाप (2 .) जैसे भावों में भाग सकते हैंθ), जहां आपसे. का मान निकालने के लिए कहा जाता हैθ. उत्तर खोजने के लिए चार्ट या कैलकुलेटर के साथ परीक्षण और त्रुटि खेलना एक दुःस्वप्न से लेकर पूरी तरह असंभव तक होगा। सौभाग्य से, दोहरे कोण की पहचान यहाँ मदद के लिए है। ये एक यौगिक सूत्र के रूप में जाने जाने वाले विशेष उदाहरण हैं, जो रूपों के कार्यों को तोड़ता है (ए + ख) या (ए – ख) बस. के कार्यों में नीचेएतथाख.
साइन के लिए डबल-एंगल आइडेंटिटीज
तीन द्विकोणीय सर्वसमिकाएँ हैं, एक-एक ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा फलनों के लिए। लेकिन साइन और कोसाइन की पहचान कई तरीकों से लिखी जा सकती है। साइन फ़ंक्शन के लिए डबल-एंगल पहचान लिखने के दो तरीके यहां दिए गए हैं:
\sin (2θ) = 2\sinθ\cosθ \\ \sin (2θ) = \frac{2\tanθ}{1 + \tan^2θ}
कोसाइन के लिए द्विकोणीय पहचानdent
कोज्या के लिए द्विकोणीय पहचान लिखने के और भी तरीके हैं:
\cos (2θ) = \cos^2θ - \sin^2θ \\ \cos (2θ) = 2\cos^2θ - 1 \\ \cos (2θ) = 1 - 2\sin^2θ \\ \cos ( 2θ) = \frac{1 - \tan^2θ}{1 + \tan^2θ}
स्पर्शरेखा के लिए द्विकोणीय पहचानdent
दयालुता से, स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के लिए डबल-एंगल पहचान लिखने का केवल एक ही तरीका है:
\tan (2θ) = \frac{2\tanθ}{1 - \tan^2θ}
द्विकोणीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करना
कल्पना कीजिए कि आप एक समकोण त्रिभुज का सामना कर रहे हैं जहाँ आप इसकी भुजाओं की लंबाई जानते हैं, लेकिन इसके कोणों की माप नहीं। आपको खोजने के लिए कहा गया हैθ, कहां हैθत्रिभुज के कोणों में से एक है। यदि त्रिभुज के कर्ण की माप 10 इकाई है, तो आपके कोण से लगी भुजा की माप 6 इकाई है और कोण की सम्मुख भुजा का माप 8 इकाई है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप. का माप नहीं जानते हैंθ; आप उत्तर खोजने के लिए साइन और कोसाइन के साथ-साथ डबल-एंगल फ़ार्मुलों में से एक का उपयोग कर सकते हैं।
एक बार जब आप एक कोण चुन लेते हैं, तो आप ज्या को कर्ण पर विपरीत पक्ष के अनुपात के रूप में परिभाषित कर सकते हैं, और कोसाइन को कर्ण पर आसन्न पक्ष के अनुपात के रूप में परिभाषित कर सकते हैं। तो अभी दिए गए उदाहरण में, आपके पास है:
\sinθ = \frac{8}{10} \\ \,\\ \cosθ = \frac{6}{10}
आपको ये दो भाव मिलते हैं क्योंकि ये द्वि-कोण सूत्रों के लिए सबसे महत्वपूर्ण बिल्डिंग ब्लॉक हैं।
चूंकि चुनने के लिए बहुत सारे डबल-एंगल फ़ार्मुलों हैं, इसलिए आप उसे चुन सकते हैं जो गणना करने में आसान लगता है और आपको जिस प्रकार की जानकारी की आवश्यकता है उसे वापस कर देगा। इस मामले में, क्योंकि आप पाप जानते हैंθऔर इसलिएθपहले से ही, यह स्पष्ट है कि सबसे सुविधाजनक अभिव्यक्ति है:
\sin (2θ) = 2\sinθ\cosθ
आप पहले से ही sinθ और cosθ के मान जानते हैं, इसलिए उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
\sin (2θ) = 2 × \frac{8}{10} × \frac{6}{10}
एक बार जब आप सरल कर लेंगे, तो आपके पास होगा:
\sin (2θ) = \frac{96}{100}
अधिकांश त्रिकोणमितीय चार्ट दशमलव में दिए गए हैं, इसलिए अगले भाग को दशमलव रूप में बदलने के लिए अंश द्वारा दर्शाया गया है। अब आपके पास है:
\sin (2θ) = 0.96
अंत में, 0.96 की प्रतिलोम ज्या या आर्क्साइन ज्ञात कीजिए, जिसे sin. लिखा जाता है −1(0.96). या, दूसरे शब्दों में, 0.96 की ज्या वाले कोण का अनुमान लगाने के लिए अपने कैलकुलेटर या चार्ट का उपयोग करें। जैसा कि यह पता चला है, यह लगभग 73.7 डिग्री के बराबर है। तो 2θ= 73.7 डिग्री।
समीकरण के प्रत्येक पक्ष को 2 से विभाजित करें। यह आपको देता है:
= ३६.८५ \पाठ{डिग्री}